（14 分）（2008 四川）设函数 f(x)=x^ 3…——2008 高考数学第 22 题答案解析

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；简单线性规划的应用．
【专题】压轴题。
【分析】①先对函数 $f(x)$ 进行求导，令 $f(x)>0$ 解出 $x$ 的范围得到其增区间，同理令 $f^{\prime}(x)<0$ 解出 $x$ 的范围得到减区间；令 $f^{\prime}(x)=0$ 解出 $x$ 的值得到极值点。
②先求出函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,2]$ 上的最大与最小值，由 $\left\{\begin{array}{l}-3 \leqslant a+b \leqslant 3 \\ -3 \leqslant 4 a+b \leqslant 3\end{array}\right.$ 可得答案。
【解答】解：（ I ） $\mathrm{f}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}-1=(3 \mathrm{x}+1)(\mathrm{x}-1)$ ．
于是，当 $x \in\left(-\frac{1}{3}, 1\right)$ 时，$f^{\prime}(x)<0 ; x \in\left(-\infty,-\frac{1}{3}\right) \cup(1,+\infty)$ 时，$f (\mathrm{x})>0$ ．
故 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\left(-\frac{1}{3}, 1\right)$ 单调减少，在 $\left(-\infty,-\frac{1}{3}\right),(1,+\infty)$ 单调增加．
当 $x=-\frac{1}{3}$ 时，$f(x)$ 取得极大值 $f\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{59}{27}$ ；
当 $x=1$ 时，$f(x)$ 取得极小值 $f①=1$ 。
（II）根据（I）及 $\mathrm{f}(-1)=1, \mathrm{f}②=4, \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $[-1,2]$ 的最大值为 4 ，最小值为 1 。
因此，当 $x \in[-1,2]$ 时，$-3 \leq a f(x)+b \leq 3$ 的充要条件是 $\left\{\begin{array}{l}-3 \leqslant a+b \leqslant 3 \\ -3 \leqslant 4 a+b \leqslant 3\end{array}\right.$ ，
即 $a, b$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}a+b \geqslant-3 \\ a+b \leqslant 3 \\ 4 a+b \geqslant-3 \\ 4 a+b \leqslant 3\end{array}\right.$,

由线性规划得， $\mathrm{a}-\mathrm{b}$ 的最大值为 7 。
【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系和函数的极值点与导数的关系，即令导数大于 0 可求函数的增区间，令导数小于 0 可求函数的减区间，令导数等于 0可求其极值点。