2012_退役省自主命题 (2012·理)
18．（本题满分 12 分）
如图，从 $\mathrm{A}_{1}(1,0,0), \mathrm{A}_{2}(2,0,0), \mathrm{B}_{1}(0,1,0), \mathrm{B}_{2}(0,2,0), \mathrm{C}_{1}(0,0,1), \mathrm{C}_{2}(0,0,2)$ 这 6个点中随机选取 3 个点，将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一个＂立体＂，记该＂立体＂的体积为随机变量 V （如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内，此时＂立体＂的体积 $\mathrm{V}=0$ ）。
（1）求 $V=0$ 的概率；（2）求 $V$ 的分布列及数学期望 $E V$ 。
【答案】：（1）$\frac{3}{5}$②$\frac{9}{40}$
【解析】：（1）从 6 个点中随机选取 3 个点总共有 $C_{6}^{3}=20$ 种取法，选取的 3 个点与原点在同一个平面内的取法有 $C_{3}^{1} C_{4}^{3}=12$ 种，因此 $V=0$ 的概率为 $P(V=0)=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$
②$V$ 的所有可能取值为 $0, \frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}$ ，因此 $V$ 的分布列为
| $V$ | 0 | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{2}{3}$ | $\frac{4}{3}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $P$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{1}{20}$ | $\frac{3}{20}$ | $\frac{3}{20}$ | $\frac{1}{20}$ |
由 $V$ 的分布列可得 $E V=0 \times \frac{3}{5}+\frac{1}{6} \times \frac{1}{20}+\frac{1}{3} \times \frac{3}{20}+\frac{2}{3} \times \frac{3}{20}+\frac{4}{3} \times \frac{1}{20}=\frac{9}{40}$
【考点定位】本题考查组合数，随机变量的概率，离散型随机变量的分布列、期望等．高考中，概率解答题一般有两大方向的考查一、以频率分布直方图为载体，考查统计学中常见的数据特征：如平均数，中位数，频数，频率等或古典概型；二、以应用题为载体，考查条件概率，独立事件的概率，随机变量的期望与方差等．来年需要注意第一种方向的考查．