2011_浙江卷 (2011·理)
15、（2011•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 $\frac{2}{3}$ ，得到乙、丙公司面试的概率均为 P ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记 x 为该毕业生得到面试的公司个数．若 $P(X=0)=\frac{1}{12}$ ，则随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)=$ $\_\_\_\_$ $\frac{5}{3}$ ． ．
考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列。
专题：计算题。
分析：根据该毕业生得到面试的机会为 0 时的概率，做出得到乙、丙公司面试的概率，根据题意得到 x 的可能取值，结合变量对应的事件写出概率和做出期望。
$\frac{5}{3}$
解答：解：由题意知 X 为该毕业生得到面试的公司个数，则 X 的可能取值是 $0,1,2,3$ ，
$\because P(X=0)=\frac{1}{12}$,
$\therefore \frac{1}{3}(1-p)^{2}=\frac{1}{12}$ ，
$\therefore \mathrm{p}=\frac{1}{2}$,
$p(x=1)=\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{4}{12}$
$\mathrm{P}(\mathrm{X}=2)=\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{5}{12}$,
$p(x=3)=1-\frac{1}{12}-\frac{4}{12}-\frac{5}{12}=\frac{2}{12}$,
$\therefore \mathrm{EX}=1 \times \frac{4}{12}+2 \times \frac{5}{12}+3 \times \frac{2}{12}=\frac{5}{3}$ ，
故答案为：$\frac{5}{3}$
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，考查生活中常见的一种题目背景，是一个基础题目。
（本小题满分 12 分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 $\mathrm{T}, \mathrm{T}$ 只与道路畅通状况有关，对其容量为 100 的样本进行统计，结果如下：
| T （分钟） | 25 | 30 | 35 | 40 |
|---|---|---|---|---|
| 频数（次） | 20 | 30 | 40 | 10 |
（I）求 T 的分布列与数学期望 ET；
（II）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率．
（本小题满分 12 分）
甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是 $\frac{1}{2}$外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 $\frac{2}{3}$ 。假设各局比赛结果相互独立。
（I）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率；
（II）若比赛结果为3： 0 或3： 1 ，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得 1 分。求乙队得分 $X$ 的分布列和数学期望。
（12分）（2009•陕西）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，椐统计，随机变量 $\xi$ 的概率分布如下：
| $\xi$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| p | 0.1 | 0.32 a | a |
（I）求 a 的值和 $\xi$ 的数学期望；
（II）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率。