2011_北京卷 (2011·理)
17．（13分）（2011 •北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。
（I）如果 $\mathrm{X}=8$ ，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
（II）如果 $\mathrm{X}=9$ ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数 Y 的分布列和数学期望。
（注：方差 $s^{2}=\frac{1}{n}\left[\left(x_{1}-\bar{x}\right)^{2}+\left(x_{2}-\bar{x}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}-\bar{x}\right)^{2}\right]$ ，其中 $\bar{x}$ 为 $x_{1}, x_{2}$ ，... $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ 的平均数）
## 甲组
## 乙组
| 9 | 9 | 0 | X | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 |
【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；离散型随机变量的期望与方差。
【专题】概率与统计。
【分析】（I）根据所给的数据，把所有数据相加再除以 4 写出这组数据的平均数，再利用所给的方差的公式，做出这组数据的方差。
（II）根据所给的变量写出随机变量可能的取值，结合变量对应的事件写出变量的概率，写出分布列，做出期望值。
【解答】解：（I ）当 $\mathrm{X}=8$ ，乙组同学植树棵数是 $8,8,9,10$ ，
平均数是 $\overline{\mathrm{X}}=\frac{8+8+9+10}{4}=\frac{35}{4}$ ，
方差为 $\frac{1}{4} \times\left[\left(8-\frac{35}{4}\right)^{2}+\left(8-\frac{35}{4}\right)^{2}+\left(9-\frac{35}{4}\right)^{2}+\left(10-\frac{35}{4}\right)^{2}\right]=\frac{11}{16}$ ；
（II）当 $\mathrm{X}=9$ 时，甲组同学的植树棵数是 $9,9,11,11$ ；
乙组同学的植树棵数是 $9, ~ 8, ~ 9, ~ 10$,
分别从甲和乙两组中随机取一名同学，共有 $4 \times 4=16$ 种结果，
这两名同学植树的总棵数Y可能是 $17,18,19,20,21$ ，事件 $Y=17$ ，表示甲组选出的同学植树 9 棵，乙组选出的同学植树 8 棵，
$\therefore \mathrm{P}(\mathrm{Y}=17)=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$
$P(Y=18)=\frac{1}{4}$
$P(Y=19)=\frac{1}{4}$
$\mathrm{P}(\mathrm{Y}=20)=\frac{1}{4}$ ，
$P(Y=21)=\frac{1}{8}$
| Y | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
|---|---|---|---|---|---|
| P | 0.125 | 0.25 | 0.25 | 0.25 | 0.125 |
∴ 随机变量的期望是 $\mathrm{EY}=17 \times \frac{1}{8}+18 \times \frac{1}{4}+19 \times \frac{1}{4}+20 \times \frac{1}{4}+21 \times \frac{1}{8}=19$ ．
【点评】本题考查一组数据的平均数和方差，考查离散型随机变量的分布列和期望值，考查等可能事件的概率，本题是一个概率与统计的综合题目。