（13分）设 a_ n 是等差数列， a_ 1 =-10，…——2019 高考数学第 16 题答案解析

【分析】（I）利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出 $d=2$ ，由此能求出 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．
（II）由 $a_{1}=-10, d=2$ ，得 $S_{n}=-10 n+\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{2} \times 2=n^{2}-11 n=\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}-\frac{121}{4}$ ，由此能求出 $S_{n}$ 的最小值．

【解答】解：（I ）$\because\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$a_{1}=-10$ ，且 $a_{2}+10, a_{3}+8, a_{4}+6$ 成等比数列．
$\therefore\left(a_{3}+8\right)^{2}=\left(a_{2}+10\right)\left(a_{4}+6\right)$ ，
$\therefore(-2+2 d)^{2}=d(-4+3 d)$ ，
解得 $d=2$ ，
$\therefore a_{n}=a_{1}+(n-1) d=-10+2 n-2=2 n-12$ ．
（ II ）由 $a_{1}=-10, d=2$ ，得：
$S_{n}=-10 n+\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{2} \times 2=n^{2}-11 n=\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}-\frac{121}{4}$ ，
$\therefore n=5$ 或 $n=6$ 时，$S_{n}$ 取最小值 -30 ．
【点评】本题考查数列的通项公式、前 $n$ 项和的最小值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．