2010 全国高考数学 2010_旧全国 II 卷 (2010·文) 第 21 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

21．（12分）已知函数 $f(x)=-x^{2}+a x+1-\ln x$ ．
（I）当 $\mathrm{a}=3$ 时，求函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调递增区间；

（II）若 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 上是减函数，求实数 $a$ 的取值范围．

Accepted Answer

【考点】3D：函数的单调性及单调区间；3E：函数单调性的性质与判断． 【专题】16：压轴题． 【分析】①求单调区间，先求导，令导函数大于等于 0 即可． ②已知 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{1}{2}ight)$ 上是减函数，即 $f^{\prime}(x) \leq 0$ 在区间 $\left(0, \frac{1}{2}ight)$ 上恒成立，然后用分离参数求最值即可． 【解答】解：（ I ）当 $a=3$ 时，$f(x)=-x^{2}+3 x+1-\ln x$ $	herefore f^{\prime}(x)=-2 x+3-\frac{1}{x}=\frac{-\left(2 x^{2}-3 x+1ight)}{x}$ 解 $f^{\prime}(x)>0$ ， 即： $2 x^{2}-3 x+1 4$ ， $	herefore g^{\prime}(x) g\left(\frac{1}{2}ight)=3$ ， $	herefore a \leq 3$ ． 【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强．

2010 高考数学第 21 题答案解析

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