（20）（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)=x^…——2009 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
本小题考查函数、函数极值的概念，考查应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力。

解：（ I ）由已知，切点为 $(2,0)$ 故有 $f(2)=0$ ，即 $4 \mathrm{~b}+\mathrm{c}+3=0$
$f^{\prime}(2)=x^{3}-2 x^{2}+x-2$ ，由已知 $f^{\prime}(2)=12+8 b+c=5$ ．
得 $8 b+c+7=0 \quad \ldots \ldots$（2）联立①、②，解得 $\mathrm{c}=1, \mathrm{~b}=-1$
于是函数解析式为 $f^{\prime}(2)=x^{3}-2 x^{2}+x-2$
（II）$g(x)=x^{3}-2 x^{2}+x-2+\frac{1}{3} m x$
$g^{\prime}(x)=3 x^{2}-4 x+1+\frac{m}{3}$ ，令 $g^{\prime}(x)=0$
当函数有极值时，$\triangle \geq 0$ ，方程 $3 x^{2}-4 x+1+\frac{m}{3}=0$ 有实根，
由 $\triangle=4(1-m) \geq 0$ ，得 $m \leq 1$
①当 $\mathrm{m}=1$ 时，$g^{\prime}(x)=0$ 有实根 $x=\frac{2}{3}$ ，在 $x=\frac{2}{3}$ 左右两侧均有 $g^{\prime}(x)>0$ ，故函数 $g(x)=0$ 无极值。
② $\mathrm{m}<1$ 时，$g^{\prime}(x)=0$ 有两个实根，$x_{1}=\frac{1}{3}(2-\sqrt{1-m}), \quad x_{2}=\frac{1}{3}(2+\sqrt{1-m})$ ，
当 x 变化时，$g^{\prime}(x) , g(x)$ 的变化情况如下表：

$\left[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|}\hline x & \left(-x, x_{1}\right) & x_{1} & \left(x_{1}, x_{2}\right) & x_{2} & \left(x_{2},+\infty\right) \\ \hline g^{\prime}(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline g^{(x)} & - & \text { 极大值 } & \searrow & \text { 极小值 } & \nearrow \\ \hline\end{array}\right.$

故在 $m \in(-\infty, 1)$ 时，函数 $g(x)$ 有极值：
当 $x=\frac{1}{3}(2-\sqrt{1-m})$ 时 $g(x)$ 有极大值；
当 $x=\frac{1}{3}(2+\sqrt{1-m})$ 时 $g(x)$ 有极大值。