17、（本小题满分 12 分）
某高校共有 15000 人，其中男生 10500 人，女生 4500 人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）
（I）应收集多少位女生样本数据？
（II）根据这 300 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：$[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12]$．估计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 个小时的概率。
（III）在样本数据中，有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 个小时。请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有 $95 \%$ 的把握认为＂该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关＂。附：
$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
| $P\left(K^{2} \geq k_{0}\right)$ | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
|---|---|---|---|---|
| $k_{0}$ | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
参考答案(1) 90; (2) 0.75; (3) 有 $95 \%$ 的把握认为＂该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关＂．【解析】 试题分析：①利用分层抽样的应用可以简出 $300 \times \frac{4500}{15000}=90$，记应收集 90 位女生的样本数据。② 根据频率分布直方图可得 $1-2 \times(0.100+0.025)=0.75$．③根据题意 300 位学生中有 $300 \times 0.75=225$人的每周平均体育运动时间超过 4 小时， 75 人的每周平均体育运动时间不超过 4 小时。又因为样本数据中有 210 份是关于男生的， 90 份是关于女生的。可以画出每周平均体育运动时间与性别列联表，计算 $K^{2}=\frac{300 \times(45 \times 60-30 \times 165)}{75 \times 225 \times 210 \times 90}=\frac{100}{21} \approx 4.762>3.841$ 则有 $95 \%$ 的把握认为＂该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关＂。 试题解析：（1） $300 \times \frac{4500}{15000}=90$，所以应收集 90 位交生的样木数据。 由频率分布直方图得 $1-2 \times(0.100+0.025)=0.75$，该校学生每周平均体育运动时间超过 4 个小时的概率为 0.75． 由②知， 300 位学生中有 $300 \times 0.75=225$ 人的每周平均体育运动时间超过 4 小时， 75 人的每周平均体育运动时间不超过 4 小时。又因为样本数据中有 210 份是关于男生的， 90 份是关于女生的。所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下： 每周平均体育运动时间与性别列联表 | | 男生 | 女生 | 总计 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | 每周平均体育运动时间 | 45 | 30 | 75 | | 不超过 4 小时 | | | | | :--- | :--- | :--- | :--- | | 每周平均体育运动时间超过 4 小时 | 165 | 60 | 225 | | 总计 | 210 | 90 | 300 | 结合列联表可算得 $K^{2}=\frac{300 \times(45 \times 60-30 \times 165)}{75 \times 225 \times 210 \times 90}=\frac{100}{21} \approx 4.762>3.841$． 有 $95 \%$ 的把握认为＂该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关＂。 考点：1．频率分布直方图的应用；2．列联表的画法及 $K^{2}$ 的求解．