已知双曲线 x^ 2 4 -y^ 2 =1，则过 (3,0…——2024 高考数学第 13 题答案解析

【答案】 $\pm \frac{1}{2}$

【解析】

【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解．

【详解】联立 $x=3$ 与 $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$ ，解得 $y= \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，这表明满足题意的直线斜率一定存在，
设所求直线斜率为 $k$ ，则过点 $(3,0)$ 且斜率为 $k$ 的直线方程为 $y=k(x-3)$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1 \\ y=k(x-3)\end{array}\right.$ ，化简并整理得：$\left(1-4 k^{2}\right) x^{2}+24 k^{2} x-36 k^{2}-4=0$ ，
由题意得 $1-4 k^{2}=0$ 或 $\Delta=\left(24 k^{2}\right)^{2}+4\left(36 k^{2}+4\right)\left(1-4 k^{2}\right)=0$ ，
解得 $k= \pm \frac{1}{2}$ 或无解，即 $k= \pm \frac{1}{2}$ ，经检验，符合题意．
故答案为：$\pm \frac{1}{2}$ ．