（本小题满分 12 分） 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在…——2008 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分 12 分。
（I）解：设＂甲投球一次命中＂为事件 $A$ ，＂乙投球一次命中＂为事件 $B$ ，由题意得
$(1-P(B))^{2}=(1-p)^{2}=\frac{1}{16}$,

解得 $p=\frac{3}{4}$ 或 $p=\frac{5}{4}$（舍去），所以乙投球的命中率为 $\frac{3}{4}$ ．
（ II ）解：由题设和（ I ）知 $P(A)=\frac{1}{2}, P(\bar{A})=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{3}{4}, P(\bar{B})=\frac{1}{4}$ ．
$\xi$ 可能的取值为 $0,1,2,3$ ，故
$P(\xi=0)=P(\bar{A}) P(\bar{B} \cdot \bar{B})=\frac{1}{2} \times\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{32}$,
$P(\xi=1)=P(A) P(\bar{B} \cdot \bar{B})+C_{2}^{1} P(B) P(\bar{B}) P(\bar{A})$
$=\frac{1}{2} \times\left(\frac{1}{4}\right)^{2}+2 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2}=\frac{7}{32}$ ，
$P(\xi=3)=P(A) P(B \cdot B)=\frac{1}{2} \times\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{32}$,
$P(\xi=2)=1-P(\xi=0)-P(\xi=1)-P(\xi=3)=\frac{15}{32}$.
$\xi$ 的分布列为

$\xi$ 的数学期望 $E \xi=0 \times \frac{1}{32}+1 \times \frac{7}{32}+2 \times \frac{15}{32}+3 \times \frac{9}{32}=2$ ．