已知抛物线 C 的参数方程为 array l x=8 t^…——2011 高考数学第 10 题答案解析

【答案】$\sqrt{2}$

【解答】
（5 分）（2011 • 天津）已知抛物线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=8 t^{2} \\ y=8 t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点，且与圆 $(\mathrm{x}-4)^{2}+\mathrm{y}^{2}=\mathrm{r}^{2}(\mathrm{r}>0)$ 相切，则 $\mathrm{r}=-\sqrt{2}$ 。
【考点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质；直线的参数方程。
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．
【分析】由抛物线 C 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=8 \mathrm{t}^{2} \\ \mathrm{y}=8 \mathrm{t}\end{array}\right.$ 我们易求出抛物线的标准方程，进而根据斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点，且与圆 $(\mathrm{x}-4)^{2}+\mathrm{y}^{2}=\mathrm{r}^{2}(\mathrm{r}>0)$ 相切，我们根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于 $r$ 的方程，解方程即可得到答案。
【解答】解：∵ 抛物线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=8 t^{2} \\ y=8 t\end{array}\right.$
则抛物线的标准方程为： $\mathrm{y}^{2}=8 \mathrm{x}$
则抛物线 C 的焦点的坐标为 $(2,0)$
又 ∵ 斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点
则直线的方程为 $\mathrm{y}=\mathrm{x}-2$ ，即经 $\mathrm{x}-\mathrm{y}-2=0$
由直线与圆 $(x-4)^{2}+y^{2}=r^{2}$ ，则
$\mathrm{r}=\frac{4-2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
故答案为：$\sqrt{2}$
【点评】本题考查的知识点是直线与的圆位置关系，抛物线的简单性质及抛物线的参数方程，其中根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于 r 的方程，是解答本题的关键。