（5分）数列 a_ n 满足 a_ n+1 +(-1) ^…——2012 高考数学第 16 题答案解析

【考点】8E：数列的求和； 8 H ：数列递推式．
【专题】11：计算题；35：转化思想； 4 M ：构造法；54：等差数列与等比数列。

【分析】由题意可得 $a_{2}-a_{1}=1, \quad a_{3}+a_{2}=3, \quad a_{4}-a_{3}=5, \quad a_{5}+a_{4}=7, \quad a_{6}-a_{5}=9, \quad a_{7}+a_{6}=11, \quad \ldots a_{50}-a_{49}=97$ ，变形可得
$a_{3}+a_{1}=2, a_{4}+a_{2}=8, a_{7}+a_{5}=2, a_{8}+a_{6}=24, a_{9}+a_{7}=2, a_{12}+a_{10}=40, a_{13}+a_{15}=2, a_{16}+ a_{14}=56, \ldots$ 利用数列的结构特征，求出 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前60项和
【解答】解：$\because a_{n+1}+(-1)^{n} a_{n}=2 n-1$ ，
故有

$$ a_{2}-a_{1}=1, \quad a_{3}+a_{2}=3, \quad a_{4}-a_{3}=5, \quad a_{5}+a_{4}=7, \quad a_{6}-a_{5}=9, \quad a_{7}+a_{6}=11, \quad \ldots a_{50}-a_{49}=97 $$

从而可得

$$ \begin{aligned} & a_{3}+a_{1}=2, a_{4}+a_{2}=8, \quad a_{7}+a_{5}=2, \quad a_{8}+a_{6}=24, \quad a_{9}+a_{11}=2, \quad a_{12}+a_{10}=40, \quad a_{13}+a_{11}=2, \quad a_{16} \\ & +a_{14}=56, \quad \ldots \end{aligned} $$

从第一项开始，依次取 2 个相邻奇数项的和都等于 2 ，从第二项开始，依次取 2个相邻偶数项的和构成以 8 为首项，以 16 为公差的等差数列。
$\left\{a_{n}\right\}$ 的前 60 项和为 $15 \times 2+\left(15 \times 8+\frac{15 \times 14}{2} \times 16\right)=1830$
【点评】本题考查数列递推式，训练了利用构造等差数列求数列的前 n 项和，属中档题．