（本小题满分 14 分） 设 a>0，讨论函数 f(x)=…——2011 高考数学第 18 题答案解析

【解析】解：函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$

$$ f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}+2 a(1-a) x-2(1-a)=\frac{2 a(1-a) x^{2}-2(1-a) x+1}{x} $$

令 $g(x)=2 a(1-a) x^{2}-2(1-a) x+1$

$$ \Delta=4(1-a)^{2}-8 a(1-a)=12 a^{2}-16 a+4=4(3 a-1)(a-1) $$

（1）当 $00$ ，令 $f^{\prime}(x)=0$ ，解得 $x=\frac{1-a \pm \sqrt{(3 a-1)(a-1)}}{2 a(1-a)}$

则当 $0\frac{1-a+\sqrt{(3 a-1)(a-1)}}{2 a(1-a)}$ 时，$f^{\prime}(x)>0$
当 $\frac{1-a-\sqrt{(3 a-1)(a-1)}}{2 a(1-a)}则 $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{1-a-\sqrt{(3 a-1)(a-1)}}{2 a(1-a)}\right),\left(\frac{1-a+\sqrt{(3 a-1)(a-1)}}{2 a(1-a)},+\infty\right)$ 上单调递增，

$$ \text { 在 }\left(\frac{1-a-\sqrt{(3 a-1)(a-1)}}{2 a(1-a)}, \frac{1-a+\sqrt{(3 a-1)(a-1)}}{2 a(1-a)}\right) \text { 上单调递减 } $$

（2）当 $\frac{1}{3} \leq a \leq 1$ 时，$\Delta \leq 0, f^{\prime}(x) \geq 0$ ，则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增
（3）当 $a>1$ 时，$\Delta>0$ ，令 $f^{\prime}(x)=0$ ，解得 $x=\frac{1-a \pm \sqrt{(3 a-1)(a-1)}}{2 a(1-a)}$
$\because x>0, \therefore x=\frac{1-a-\sqrt{(3 a-1)(a-1)}}{2 a(1-a)}$
则当 $00$
当 $x>\frac{1-a-\sqrt{(3 a-1)(a-1)}}{2 a(1-a)}$ 时，$f^{\prime}(x)<0$
则 $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{1-a-\sqrt{(3 a-1)(a-1)}}{2 a(1-a)}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\frac{1-a-\sqrt{(3 a-1)(a-1)}}{2 a(1-a)},+\infty\right)$ 上单调递减