（20）（本小题满分12分） 已知函数 f ( x )=a…——2010 高考数学第 22 题答案解析

【解答】
本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分 12 分。
（I）解：当 $\mathrm{a}=1$ 时， $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-\frac{3}{2} \mathrm{x}^{2}+1, \mathrm{f}(2)=3 ; f^{\prime}(x)=3 x^{2}-3 x, f^{\prime}(2)=6$ 。所以曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2, f(2))$ 处的切线方程为 $y-3=6(x-2)$ ，即 $y=6 x-9$ ．
（II）解：$f^{\prime}(x)=3 a x^{2}-3 x=3 x(a x-1)$ ，令 $f^{\prime}(x)=0$ ，解得 $\mathrm{x}=0$ 或 $\mathrm{x}=\frac{1}{a}$ 。
以下分两种情况讨论：
①若 $0<\mathrm{a} \leq 2$ ，则 $\frac{1}{\mathrm{a}} \geq \frac{1}{2}$ ，当 x 变化时，$f^{\prime}(x), f(\mathrm{x})$ 的变化情况如下表：

| X | $\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ | 0 | （ $0, \frac{1}{2}$ ） |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $f^{\prime}(x)$ | ＋ | 0 | － |
| f（x） | $\nearrow$ | 极大值 | $\searrow$ |

当 $\mathrm{x} \in\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ 时， $\mathrm{f}(\mathrm{x})>0$ 等价于 $\left\{\begin{array}{l}f\left(-\frac{1}{2}\right)>0, \\ f\left(\frac{1}{2}\right)>0,\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}\frac{5-\mathrm{a}}{8}>0, \\ \frac{5+\mathrm{a}}{8}>0 .\end{array}\right.$
解不等式组得 $-5②若 $\mathrm{a}>2$ ，则 $0<\frac{1}{\mathrm{a}}<\frac{1}{2}$ 。当 x 变化时，$f^{\prime}(x), ~ \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的变化情况如下表：

| X | $\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ | 0 | $\left(0, \frac{1}{\mathrm{a}}\right)$ | $\frac{1}{\mathrm{a}}$ | $\left(\frac{1}{\mathrm{a}}, \frac{1}{2}\right)$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $f^{\prime}(x)$ | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
| f（x） | $\nearrow$ | 极大值 | ↘ | 极小值 | $\nearrow$ |

当 $x \in\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ 时，$f(x)>0$ 等价于 $\left\{\begin{array}{l}f\left(-\frac{1}{2}\right)>0, \\ f\left(\frac{1}{a}\right)>0,\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}\frac{5-a}{8}>0, \\ 1-\frac{1}{2 a^{2}}>0 .\end{array}\right.$

解不等式组得 $\frac{\sqrt{2}}{2}综合①和②，可知 $a$ 的取值范围为 $0