已知函数 f(x)=2 x^ 3 -a x^ 2 +2 ．…——2019 高考数学第 20 题答案解析

【答案】（1）见详解；②$\left[\frac{8}{27}, 2\right)$ ．

【解析】

【分析】
（1）先求 $f(x)$ 的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；②
讨论的范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终求得 $M-m$ 的取值范围．
【详解】（1）对 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+2$ 求导得 $f^{\prime}(x)=6 x^{2}-2 a x=6 x\left(x-\frac{a}{3}\right)$ ．所以有当 $a<0$ 时，$\left(-\infty, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递增，$\left(\frac{a}{3}, 0\right)$ 区间上单调递减，$(0,+\infty)$ 区间上单调递增；当 $a=0$ 时，$(-\infty,+\infty)$ 区间上单调递增；

当 $a>0$ 时，$(-\infty, 0)$ 区间上单调递增，$\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递减，$\left(\frac{a}{3},+\infty\right)$ 区间上单调递增．

若 $0<a \leq 2, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减，在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增，所以区间 $[0,1]$ 上最小值为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$ 。而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \geq f(0)$ ，故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(1)$ ．

所以 $M-m=f(1)-f\left(\frac{a}{3}\right)=(4-a)-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}-a+2$ ，设函数

$g(x)=\frac{x^{3}}{27}-x+2$ ，求导 $g^{\prime}(x)=\frac{x^{2}}{9}-1$ 当 $0<x \leq 2$ 时 $g^{\prime}(x)<0$ 从而 $g(x)$ 单调递减。而 $0<a \leq 2$ ，所以 $\frac{8}{27} \leq \frac{a^{3}}{27}-a+2<2$ ．即 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$ ．

若 $2<a<3, f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减，在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增，所以区间 $[0,1]$ 上最小值为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$ 而 $f(0)=2, f(1)=2-a+2 \leq f(0)$ ，故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(0)$ ．

所以 $M-m=f(0)-f\left(\frac{a}{3}\right)=2-\left[2\left(\frac{a}{3}\right)^{3}-a\left(\frac{a}{3}\right)^{2}+2\right]=\frac{a^{3}}{27}$ ，而 $2<a<3$ ，所以
$\frac{8}{27}<\frac{a^{3}}{27}<1$ ．即 $M-m$ 的取值范围是 $\left(\frac{8}{27}, 1\right)$ ．
综上得 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{27}, 2\right)$ ．
【点睛】（1）这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，由计算量补充．