已知函数 f(x)=a e ^ x -ln x 在区间 (…——2023 高考数学第 6 题答案解析

## 【答案】C

## 【解析】

【分析】根据 $f^{\prime}(x)=a \mathrm{e}^{x}-\frac{1}{x} \geq 0$ 在 $(1,2)$ 上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，$f^{\prime}(x)=a \mathrm{e}^{x}-\frac{1}{x} \geq 0$ 在 $(1,2)$ 上恒成立，显然 $a>0$ ，所以 $x \mathrm{e}^{x} \geq \frac{1}{a}$ ，
设 $g(x)=x \mathrm{e}^{x}, x \in(1,2)$ ，所以 $g^{\prime}(x)=(x+1) \mathrm{e}^{x}>0$ ，所以 $g(x)$ 在 $(1,2)$ 上单调递增， $g(x)>g(1)=\mathrm{e}$ ，故 $\mathrm{e} \geq \frac{1}{a}$ ，即 $a \geq \frac{1}{\mathrm{e}}=\mathrm{e}^{-1}$ ，即 $a$ 的最小值为 $\mathrm{e}^{-1}$ ．

故选：C．