2010_退役省自主命题 (2010·理)
22．（本小题满分 14 分）
证明以下命题：
①对任一正整 a ，都存在整数 $\mathrm{b}, \mathrm{c}(\mathrm{b}<\mathrm{c})$ ，使得 $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ 成等差数列。
②存在无穷多个互不相似的三角形 $\triangle_{\mathrm{n}}$ ，其边长 $a_{\mathrm{n}}, b_{n}, c_{n}$ 为正整数且 $a_{\mathrm{n}}{ }^{2}, b_{n}{ }^{2}, c_{n}{ }^{2}$成等差数列。
## 2010 年江西高考理科数学真题及答案
## 第 I 卷
【解答】
（本小题满分 14 分）
证明以下命题：
③对任一正整 a ，都存在整数 $\mathrm{b}, \mathrm{c}(\mathrm{b}<\mathrm{c})$ ，使得 $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ 成等差数列。
④存在无穷多个互不相似的三角形 $\triangle_{\mathrm{n}}$ ，其边长 $a_{\mathrm{n}}, b_{n}, c_{n}$ 为正整数且 $a_{\mathrm{n}}{ }^{2}, b_{n}{ }^{2}, c_{n}{ }^{2}$成等差数列。
【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。
（1）考虑到结构要证 $a^{2}+c^{2}=2 b^{2}$ ，；类似勾股数进行拼凑。
证明：考虑到结构特征，取特值 $1^{2}, 5^{2}, 7^{2}$ 满足等差数列，只需取 $b=5 a, c=7 a$ ，对一切正整数 a 均能成立。
结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。
证明：当 $a_{n}^{2}, b_{n}^{2}, c_{n}^{2}$ 成等差数列，则 $b_{n}^{2}-a_{n}^{2}=c_{n}^{2}-b_{n}^{2}$ ，
分解得：$\left(b_{n}+a_{n}\right)\left(b_{n}-a_{n}\right)=\left(c_{n}+b_{n}\right)\left(c_{n}-b_{n}\right)$
选取关于 n 的一个多项式， $4 n\left(n^{2}-1\right)$ 做两种途径的分解
$4 n\left(n^{2}-1\right)=(2 n-2)\left(2 n^{2}+2 n\right)=\left(2 n^{2}-2 n\right)(2 n+2) 4 n\left(n^{2}-1\right)$
对比目标式，构造 $\left\{\begin{array}{c}a_{n}=n^{2}-2 n-1 \\ b_{n}=n^{2}+1 \quad(n \geq 4) \\ c_{n}=n^{2}+2 n-1\end{array}\right.$ ，由第一问结论得，等差数列成立，
考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。
下证互不相似。
任 取 正 整 数 $m$ ，$n$ ，若 $\Delta_{m}, ~ \Delta_{n}$ 相 似：则 三 边 对 应 成 比 例 $\frac{m^{2}-2 m-1}{n^{2}-2 n-1}=\frac{m^{2}+1}{n^{2}+1}=\frac{m^{2}+2 m-1}{n^{2}+2 n-1}$,
由比例的性质得：$\frac{m-1}{n-1}=\frac{m+1}{n+1} \Rightarrow m=n$ ，与约定不同的值矛盾，故互不相似。