（15）设 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 所对边的长分别为 $a, b, c$ ，则下列命题正确的是
$\_\_\_\_$ （写出所有正确命题的编号）。
（1）若 $a b>c^{2}$ ，则 $C<\frac{\pi}{3}$
（2）若 $a+b>2 c$ ，则 $C<\frac{\pi}{3}$
（3）若 $a^{3}+b^{3}=c^{3}$ ，则 $C>\frac{\pi}{2}$
（4）若 $(a+b) c=2 a b$ ，则 $C>\frac{\pi}{2}$
（5）若 $\left(a^{2}+b^{2}\right) c^{2}=2 a^{2} b^{2}$ ，则 $C>\frac{\pi}{3}$
（15）设 ABC 的内角 A , B , C 所对边的长…——2012 高考数学第 12 题答案解析
2012_退役省自主命题 (2012·理)
完整解析 · 逐步详解
【答案】①②③
【解析】①$a b>c^{2} \Rightarrow \cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}>\frac{2 a b-a b}{2 a b}=\frac{1}{2} \Rightarrow C<\frac{\pi}{3}$ ；
②$a+b>2 c \Rightarrow \cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}>\frac{4\left(a^{2}+b^{2}\right)-(a+b)^{2}}{8 a b} \geq \frac{1}{2} \Rightarrow C<\frac{\pi}{3}$ ；
（3）当 $C \geq \frac{\pi}{2}$ 时，$c^{2} \geq a^{2}+b^{2} \Rightarrow c^{3} \geq a^{2} c+b^{2} c>a^{3}+b^{3}$ 与 $a^{3}+b^{3}=c^{3}$ 矛盾；
（4）取 $a=b=2, c=1$ 满足 $(a+b) c<2 a b$ 得：$C<\frac{\pi}{2}$ ；
（5）取 $a=b=2, c=1$ 满足 $\left(a^{2}+b^{2}\right) c^{2}<2 a^{2} b^{2}$ 得：$C<\frac{\pi}{3}$ ；
【考点定位】考查解三角形即余弦定理。
✅ 来源：2012年 · 全国 · 2012_退役省自主命题 (2012·理) · 第 12 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验