已知曲线 C: y= x^ 2 2 , D，为直线 y=-…——2019 高考数学第 21 题答案解析

【答案】（1）见详解；②$x^{2}+\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}=4$ 或 $x^{2}+\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}=2$ ．

## 【解析】

【分析】
（1）可设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), D\left(t,-\frac{1}{2}\right)$ 然后求出 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点处的切线方程，比如 $A D$ ：$y_{1}+\frac{1}{2}=x_{1}\left(x_{1}-t\right)$ ，又因为 $B D$ 也有类似的形式，从而求出带参数直线 $A B$ 方程，最后求出它所过的定点．
（2）由（1）得带参数的直线 $A B$ 方程和抛物线方程联立，再通过 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，

$\overline{E M} \perp \overline{A B}$ 得出 $t$ 的值，从而求出 $M$ 坐标和 $|\overline{E M}|$ 的值，最后求出圆的方程．
【详解】（1）证明：设 $D\left(t,-\frac{1}{2}\right), A\left(x_{1}, y_{1}\right)$ ，则 $y_{1}=\frac{1}{2} x_{1}{ }^{2}$ 。又因为 $y=\frac{1}{2} x^{2}$ ，所以 $y^{\prime}=x$ 。则切线 DA 的斜率为 $x_{1}$ ，故 $y_{1}+\frac{1}{2}=x_{1}\left(x_{1}-t\right)$ ，整理得 $2 t x_{1}-2 y_{1}+1=0$ 。设 $B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，同理得 $2 t x_{1}-2 y_{1}+1=0 . A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 都满足直线方程 $2 t x-2 y+1=0$ ．于是直线 $2 t x-2 y+1=0$ 过点 $A, B$ ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线 $A B$ 方程为 $2 t x-2 y+1=0$ 。即 $2 t x+(-2 y+1)=0$ ，当 $2 t=0,-2 y+1=0$ 时等式恒成立。所以直线 $A B$ 恒过定点 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ ．
②由（1）得直线 $A B$ 方程为 $2 t x-2 y+1=0$ ，和抛物线方程联立得：
$\left\{\begin{array}{l}2 t x-2 y+1=0 \\ y=\frac{1}{2} x^{2}\end{array}\right.$ 化简得 $x^{2}-2 t x-1=0$ ．于是 $x_{1}+x_{2}=2 t, y_{1}+y_{2}=t\left(x_{1}+x_{2}\right)+1=2 t^{2}+1$
设 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，则 $M\left(t, t^{2}+\frac{1}{2}\right)$
由于 $\overrightarrow{E M} \perp \overrightarrow{A B}$ ，而 $\overrightarrow{E M}=\left(t, t^{2}-2\right), \overrightarrow{A B}$ 与向量 $(1, t)$ 平行，所以 $t+t\left(t^{2}-2\right)=0$ ，
解得 $t=0$ 或 $t= \pm 1$ ．
当 $t=0$ 时， $\overrightarrow{E M}=(0,-2),|\overrightarrow{E M}|=2$ 所求圆的方程为 $x^{2}+\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}=4$ ；
当 $t= \pm 1$ 时， $\overrightarrow{E M}=(1,-1)$ 或 $\overrightarrow{E M}=(-1,-1),|\overrightarrow{E M}|=\sqrt{2}$ 所求圆的方程为 $x^{2}+\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}=2$.
所以圆的方程为 $x^{2}+\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}=4$ 或 $x^{2}+\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}=2$ ．
【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以。思路较为清晰，但计算量不小．