在抛物线 y = x ^ 2 + ax -5( a ≠ 0…——2011 高考数学第 11 题答案解析

【解答】
（5 分）（2011•四川）在抛物线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{ax}-5(\mathrm{a} \neq 0)$ 上取横坐标为 $\mathrm{x}_{1}=-4, \mathrm{x}_{2}=2$ 的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 $5 x^{2}+5 y^{2}=36$ 相切，则抛物线顶点的坐标为

A．$(-2,-9)$
B．$(0,-5)$
C．$(2,-9)$
D．$(1,6)$

【考点】抛物线的应用；抛物线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程。
【分析】求出两个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出 a ，求出抛物线的顶点坐标。
【解答】解：两点坐标为 $(-4,11-4 a) ;(2,2 a-1)$ ，
两点连线的斜率 $\mathrm{k}=\frac{11-4 \mathrm{a}-2 \mathrm{a}+1}{-4-2}=\mathrm{a}-2$ ，
对于 $y=x^{2}+a x-5$ ，
$y^{\prime}=2 x+a$ ，
$\therefore 2 \mathrm{x}+\mathrm{a}=\mathrm{a}-2$ 解得 $\mathrm{x}=-1$ ，
在抛物线上的切点为（－1，－a－4），
切线方程为 $(a-2) x-y-6=0$ ，
该切线与圆相切，圆心 $(0,0)$ 到直线的距离 $=$ 圆半径，
$\frac{6}{\sqrt{(a-2)^{2}+1}}=\sqrt{\frac{36}{5}}$
解得 $a=4$ 或 0 （ 0 舍去），
抛物线方程为 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}+4 \mathrm{x}-5$ 顶点坐标为（－2，－9）．
故选 A。
【点评】本题考查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的斜率、考查直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径．