22．（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=x-1+\frac{a}{e^{x}} \quad(a \in R, e$ 为自然对数的底数 $)$
（I）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(x))$ 处的切线平行于 $x$ 轴，求 $a$ 的值；
（II）求函数 $f(x)$ 的极值；
（III）当 $a=1$ 时，若直线 $l: y=k x-1$ 与曲线 $y=f(x)$ 没有公共点，求 $k$ 的最大值．
参考答案(1) )$ 处的切线平行于 $x$ 轴， 得 $f^{\prime}(1)=0$，即 $1-\frac{a}{e}=0$，解得 $a=e$． （II）$f^{\prime}(x)=1-\frac{a}{e^{x}}$， ①当 $a \leq 0$ 时，$f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 为 $(-\infty,+\infty)$ 上的增函数，所以函数 $f(x) 无极值．; (2) 当 $a>0$ 时，令 $f^{\prime}(x)=0$，得 $e^{x}=a, x=\ln a$． $x \in(-\infty, \ln a), f^{\prime}(x)<0 ; \quad x \in(\ln a,+\infty), f^{\prime}(x)>0$. 所以 $f(x)$ 在 $(-\infty, \ln a)$ 上单调递减，在 $(\ln a,+\infty)$ 上单调递增， 故 $f(x)$ 在 $x=\ln a$ 处取得极小值，且极小值为 $f(\ln a)=\ln a$，无极大值． 综上，当 $a \leq 0$ 时，函数 $f(x)$ 无极小值； 当 $a>0, f(x)$ 在 $x=\ln a$ 处取得极小值 $\ln a$，无极大值． （III）当 $a=1$ 时，$f(x)=x-1+\frac{1}{e^{x}}$ 令 $g(x)=f(x)-(k x-1)=(1-k) x+\frac{1}{e^{x}}$， 则直线 l：$y=k x-1$ 与曲线 $y=f(x)$ 没有公共点， 等价于方程 $g(x)=0$ 在 $R$ 上没有实数解。 假设 $k>1$，此时 $g(0)=1>0, g\left(\frac{1}{k-1}\right)=-1+\frac{1}{e^{\frac{1}{k-1}}}<0$， 又函数 $g(x)$ 的图象连续不断，由零点存在定理，可知 $g(x)=0$ 在 $R$ 上至少有一解，与＂方程 $g(x)=0$ 在 $R$ 上没有实数解＂矛盾，故 $k \leq 1$． 又 $k=1$ 时，$g(x)=\frac{1}{e^{x}}>0$，知方程 $g(x)=0$ 在 $R$ 上没有实数解． 所以 $k$ 的最大值为 1． 解法二： （ I ）（ II ）同解法一。 （III）当 $a=1$ 时，$f(x)=x-1+\frac{1}{e^{x}}$． 直线 l：$y=k x-1$ 与曲线 $y=f(x)$ 没有公共点， 等价于关于 $x$ 的方程 $k x-1=x-1+\frac{1}{e^{x}}$ 在 $R$ 上没有实数解，即关于 $x$ 的方程： $$ (k-1) x=\frac{1}{e^{x}} $$ 在 $R$ 上没有实数解． ①当 $k=1$ 时，方程（ $*$ ）可化为 $\frac{1}{e^{x}}=0$，在 $R$ 上没有实数解． ②当 $k \neq 1$ 时，方程（＊）化为 $\frac{1}{k-1}=x e^{x}$． 令 $g(x)=x e^{x}$，则有 $g^{\prime}(x)=(1+x) e^{x}$． 令 $g^{\prime}(x)=0$，得 $x=-1$， 当 $x$ 变化时，$g^{\prime}(x)$ 的变化情况如下表： | $x$ | （ $-\infty,-1$ ） | －1 | （ $-1,+\infty$ ） | | :--- | :--- | :--- | :--- | | $g^{\prime}(x)$ | － | 0 | ＋ | | $g(x)$ | ↘ | $-\frac{1}{e}$ | ↗ | 当 $x=-1$ 时，$g(x)_{\min }=-\frac{1}{e}$，同时当 $x$ 趋于 $+\infty$ 时，$g(x)$ 趋于 $+\infty$， 从而 $g(x)$ 的取值范围为 $\left[-\frac{1}{e},+\infty\right)$． 所以当 $\frac{1}{k-1} \in\left(-\infty,-\frac{1}{e}\right)$ 时，方程（＊）无实数解， 解得 $k$ 的取值范围是 $(1-e, 1)$． 综上，得 $k$ 的最大值为 1．