已知函数 f(x)=2 sin x-x cos x-x,…——2019 高考数学第 20 题答案解析

【答案】（1）见解析；
②$a \in(-\infty, 0]$ ．

## 【解析】

【分析】
，当 $x \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 时，$g^{\prime}(x)<0$ ，从而得到 $g(x)$ 单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；②构造函数 $h(x)=f(x)-a x$ ，通过二次求导可判断出 $h^{\prime}(x)_{\text {min }}=h^{\prime}(\pi)=-2-a, h^{\prime}(x)_{\text {max }}=h^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi-2}{2}-a$ ；分别在 $a \leq-2,-2

【详解】①$f^{\prime}(x)=2 \cos x-\cos x+x \sin x-1=\cos x+x \sin x-1$令 $g(x)=\cos x+x \sin x-1$ ，则 $g^{\prime}(x)=-\sin x+\sin x+x \cos x=x \cos x$当 $x \in(0, \pi)$ 时，令 $g^{\prime}(x)=0$ ，解得：$x=\frac{\pi}{2}$ ∴ 当 $x \hat{\mathrm{I}} \stackrel{\text { を }}{\text { \＆}} 0, \frac{p}{2} \frac{\underset{\dot{\text { }}}{\dot{\text { 产 }}}}{\text { 时 }}, g^{\prime}(x)>0$ ；当 $x \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 时，$g^{\prime}(x)<0$ \ $g(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增；在 $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 上单调递减

又 $g(0)=1-1=0, g\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}-1>0, g(\pi)=-1-1=-2$
即当 $x \hat{\mathrm{i}} \stackrel{\mathrm{E}}{\mathrm{E}} 0, \frac{p}{2} \frac{\underset{\dot{\dot{i}}}{\dot{\bar{\phi}}}}{\dot{\bar{\theta}}}$ 时，$g(x)>0$ ，此时 $g(x)$ 无零点，即 $f^{\prime}(x)$ 无零点
$\because g\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot g(\pi)<0 \quad \therefore \exists x_{0} \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ ，使得 $g\left(x_{0}\right)=0$
又 $g(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 上单调递减 $\therefore x=x_{0}$ 为 $g(x)$ ，即 $f^{\prime}(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 上的唯一零点
综上所述：$f^{\prime}(x)$ 在区间 $(0, \pi)$ 存在唯一零点
（2）若 $x \in[0, \pi]$ 时，$f(x) \geq a x$ ，即 $f(x)-a x \geq 0$ 恒成立
令 $h(x)=f(x)-a x=2 \sin x-x \cos x-(a+1) x$
则 $h^{\prime}(x)=\cos x+x \sin x-1-a, h^{\prime \prime}(x)=x \cos x=g^{\prime}(x)$
由①可知，$h^{\prime}(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增；在 $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 上单调递减
且 $h^{\prime}(0)=-a, h^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi-2}{2}-a, h^{\prime}(\pi)=-2-a$
$\therefore h^{\prime}(x)_{\text {min }}=h^{\prime}(\pi)=-2-a, h^{\prime}(x)_{\text {max }}=h^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi-2}{2}-a$
①当 $a \leq-2$ 时，$h^{\prime}(x)_{\text {min }}=h^{\prime}(\pi)=-2-a \geq 0$ ，即 $h^{\prime}(x) \geq 0$ 在 $[0, \pi]$ 上恒成立
$\therefore h(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上单调递增
$\backslash h(x)^{3} h(0)=0$ ，即 $f(x)-a x \geq 0$ ，此时 $f(x) \geq a x$ 恒成立
②当 $-20, h^{\prime}(\pi)<0$
$\therefore \exists x_{1} \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ ，使得 $h^{\prime}\left(x_{1}\right)=0$
$\therefore h(x)$ 在 $\left[0, x_{1}\right)$ 上单调递增，在 $\left(x_{1}, \pi\right]$ 上单调递减
又 $h(0)=0, h(\pi)=2 \sin \pi-\pi \cos \pi-(a+1) \pi=-a \pi \geq 0$

$\therefore h(x) \geq 0$ 在 $[0, \pi]$ 上恒成立，即 $f(x) \geq a x$ 恒成立
（3）当 $00$
$\therefore \exists x_{2} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，使得 $h^{\prime}\left(x_{2}\right)=0$
$\therefore h(x)$ 在 $\left[0, x_{2}\right)$ 上单调递减，在 $\left(x_{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增
$\therefore x \in\left(0, x_{2}\right)$ 时，$h(x)（4）当 $a \geq \frac{\pi-2}{2}$ 时，$h^{\prime}(x)_{\text {max }}=h^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi-2}{2}-a \leq 0$
$\therefore h(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递减 $\backslash h(x)可知 $f(x) \geq a x$ 不恒成立
综上所述：$a \in(-\infty, 0]$
【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题．
对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值．