（本小题满分 14 分） 已知二次函数 y=g(x) 的导…——2009 高考数学第 22 题答案解析

【解答】
解：设二次函数 $y=g(x)$ 的解析式为 $g(x)=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$
则它的导函数为 $g^{\prime}(x)=2 a x+b(a \neq 0)$ ，
∵ 函数 $g^{\prime}(x)=2 a x+b(a \neq 0)$ 的图像与直线 $y=2 x$ 平行，
$\therefore 2 a=2$ ，解得 $a=1$ ，
所以 $g(x)=x^{2}+b x+c, g^{\prime}(x)=2 x+b$
$\because y=g(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极小值 $m-1(m \neq 0)$
$\therefore\left\{\begin{array}{l}g^{\prime}(-1)=0 \\ g(-1)=m-1\end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}-2+b=0 \\ 1-b+c=m-1\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}b=2 \\ c=m\end{array}\right.$ 。
所以 $g(x)=x^{2}+2 x+m, f(x)=\frac{g(x)}{x}=x+\frac{m}{x}+2 \quad(x \neq 0)$
①设点点 $\mathrm{P}\left(x, x+\frac{m}{x}+2\right)(x \neq 0, m \neq 0)$ 为曲线 $y=f(x)$ 上的任意一点
则点 P 到点 $Q(0,2)$ 的距离为 $|P Q|=\sqrt{x^{2}+\left(x+\frac{m}{x}\right)^{2}}=\sqrt{2 x^{2}+\frac{m^{2}}{x^{2}}+2 m}$
由基本不等式定理可知 $\sqrt{2 x^{2}+\frac{m^{2}}{x^{2}}+2 m} \geq \sqrt{2 \sqrt{2}|m|+2 m}$ ，

当且仅当 $x^{2}=\frac{\sqrt{2}|m|}{2}$ 时，等号＂＝＂成立，此时 $|P Q|_{\min }=\sqrt{2 \sqrt{2}|m|+2 m}$
又已知点 P 到点 $Q(0,2)$ 的距离的最小值为 $\sqrt{2}$ ，所以令 $\sqrt{2 \sqrt{2}|m|+2 m}=\sqrt{2}$
两边平方整理，得 $\sqrt{2}|m|+m=1$
当 $m>0$ 时，$\sqrt{2} m+m=1$ ，解得 $m=\sqrt{2}-1$
当 $m<0$ 时，$-\sqrt{2} m+m=1$ ，解得 $m=-\sqrt{2}-1$
所以，$m$ 的值为 $\sqrt{2}-1$ 或者 $-\sqrt{2}-1$ ；
（2）函数令 $h(x)=f(x)-k x=x+\frac{m}{x}+2-k x=(1-k) x+\frac{m}{x}+2 \quad(x \neq 0)$
令 $h(x)=0$ ，即 $(1-k) x+\frac{m}{x}+2=0 \quad(x \neq 0)$ ，
整理，得 $(1-k) x^{2}+2 x+m=0(x \neq 0)$ ，（1）
函数 $h(x)=f(x)-k x$ 存在零点，等价于方程①有非零实数根，
由 $m \neq 0$ 可知，方程①不可能有零根，
当 $\mathrm{k}=1$ 时，方程（1）变为 $2 x+m=0$ ，解得 $x=\frac{m}{2} \neq 0$ ，方程①有唯一实数根，
此时，函数 $h(x)=f(x)-k x$ 存在唯一的零点 $x=\frac{m}{2}$ ；
当 $\mathrm{k} \neq 1$ 时，方程（1）根的判别式为 $\Delta=4-4 m(1-k), ~ m \neq 0$
令 $\Delta=4-4 m(1-k)=0$ ，解得 $k=1-\frac{1}{m}$ ，
方程①有两个相等的实数根 $x_{1}=x_{2}=-m$ ，
此时，函数 $h(x)=f(x)-k x$ 存在唯一的零点 $x=-m$ ；
令 $\Delta=4-4 m(1-k)>0$ ，得 $m(1-k)<1$ ，
当 $\mathrm{m}>0$ 时，解得 $k>1-\frac{1}{m}$ ，
当 $\mathrm{m}<0$ 时，解得 $k<1-\frac{1}{m}$ ，
以上两种情况下，方程（1）都有两个不相等的实数根

$$ x_{1}=\frac{-1+\sqrt{1-m(1-k)}}{1-k}, \quad x_{2}=\frac{-1-\sqrt{1-m(1-k)}}{1-k} $$

此时，函数 $h(x)=f(x)-k x$ 存在两个零点

$$ x_{1}=\frac{-1+\sqrt{1-m(1-k)}}{1-k}, \quad x_{2}=\frac{-1-\sqrt{1-m(1-k)}}{1-k} $$

综上所述，函数 $y=f(x)-k x$ 存在零点的情况可概括为
当 $\mathrm{k}=1$ 时，函数 $h(x)=f(x)-k x$ 存在唯一的零点 $x=\frac{m}{2}$ ；
当 $k=1-\frac{1}{m}$ 时，函数 $h(x)=f(x)-k x$ 存在唯一的零点 $x=-m$ ；
当 $\mathrm{m}>0$ 且 $k>1-\frac{1}{m}$ ，或者 $\mathrm{m}<0$ 且 $k<1-\frac{1}{m}$ 时，函数 $h(x)=f(x)-k x$ 存在两个零点

$$ x_{1}=\frac{-1+\sqrt{1-m(1-k)}}{1-k}, \quad x_{2}=\frac{-1-\sqrt{1-m(1-k)}}{1-k} $$