（5分）双曲线 C : x ^ 2 a ^ 2 - y ^…——2014 高考数学第 11 题答案解析

【考点】KC：双曲线的性质．
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论。

【解答】解：$\because: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 2 ，
$\therefore \mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=2$ ，双曲线的渐近线方程为 $\mathrm{y}= \pm \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}} \mathrm{x}$ ，不妨取 $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}} \mathrm{x}$ ，即 $\mathrm{bx}-\mathrm{ay}=0$ ，
则 $c=2 a, b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{3} a$ ，
∵ 焦点 $\mathrm{F}(\mathrm{c}, 0)$ 到渐近线 $\mathrm{bx}-\mathrm{ay}=0$ 的距离为 $\sqrt{3}$ ，
$\therefore \mathrm{d}=\frac{\mathrm{bc}}{\sqrt{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}}}=\sqrt{3}$ ，
即 $\frac{\sqrt{3} a \cdot c}{\sqrt{a^{2}+3 a^{2}}}=\frac{\sqrt{3} a c}{2 a}=\frac{\sqrt{3} c}{2}=\sqrt{3}$ ，
解得 $c=2$ ，
则焦距为 $2 \mathrm{c}=4$ ，
故选：C．

【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．