（18）．（本小题满分 12 分）某射手每次射击击中目标的…——2010 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分 12 分。
（1）解：设 $X$ 为射手在 5 次射击中击中目标的次数，则 $X \sim B\left(5, \frac{2}{3}\right)$ ．在 5 次射击中，恰有 2 次击中目标的概率

$$ P(X=2)=C_{5}^{2} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \times\left(1-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{40}{243} $$

（II）解：设＂第 $i$ 次射击击中目标＂为事件 $A_{i}(i=1,2,3,4,5)$ ；＂射手在 5 次射击中，有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标＂为事件 $A$ ，则

$$ \begin{aligned} P(A) & =P\left(A_{1} A_{2} A_{3} \overline{A_{4}} \overline{A_{5}}\right)+P\left(\overline{A_{1}} A_{2} A_{3} A_{4} \overline{A_{5}}\right)+P\left(\overline{A_{1}} \overline{A_{2}} A_{3} A_{4} A_{5}\right) \\ & =\left(\frac{2}{3}\right)^{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+\frac{1}{3} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{3} \times \frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{3} \\ & =\frac{8}{81} \end{aligned} $$

（III）解：由题意可知，$\xi$ 的所有可能取值为 $0,1,2,3,6$

$$ \begin{aligned} & P(\zeta=0)=P\left(\overline{A_{1}} \overline{A_{2}} \overline{A_{3}}\right)=\left(\frac{1}{3}\right)^{3}=\frac{1}{27} \\ & P(\zeta=1)=P\left(A_{1} \overline{A_{2}} \overline{A_{3}}\right)+P\left(\overline{A_{1}} \overline{A_{2} A_{3}}\right)+P\left(\overline{A_{1}} \overline{A_{2}} A_{3}\right) \\ & \quad=\frac{2}{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2} \times \frac{2}{3}=\frac{2}{9} \\ & P(\zeta=2)=P\left(A_{1} \overline{A_{2}} A_{3}\right)=\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3}=\frac{4}{27} \\ & P(\zeta=3)=P\left(A_{1} A_{2} \overline{A_{3}}\right)+P\left(\overline{A_{1}} A_{2} A_{3}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \times \frac{1}{3}+\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{8}{27} \\ & P(\zeta=6)=P\left(A_{1} A_{2} A_{3}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\frac{8}{27} \end{aligned} $$

所以 $\xi$ 的分布列是