（5分）已知圆 O 的半径为 1, PA、 ~PB 为该圆…——2010 高考数学第 11 题答案解析

【考点】90：平面向量数量积的性质及其运算；JF：圆方程的综合应用．
【专题】5C：向量与圆锥曲线．
【分析】要求 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$ 的最小值，我们可以根据已知中，圆 O 的半径为 $1, \mathrm{PA} , \mathrm{~PB}$为该圆的两条切线， $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 为两切点，结合切线长定理，设出 $\mathrm{PA}, \mathrm{PB}$ 的长度和夹角，并将 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$ 表示成一个关于 x 的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答．

【解答】解：如图所示：设 $O P=x(x>0)$ ，
则 $P A=P B=\sqrt{x^{2}-1}$ ，
$\angle \mathrm{APO}=\alpha$ ，则 $\angle \mathrm{APB}=2 \alpha$ ，
$\sin \alpha=\frac{1}{\mathrm{x}}$,
$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=|\overrightarrow{\mathrm{PA}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{PB}}| \cos 2 \alpha$
$=\sqrt{x^{2}-1} \times \sqrt{x^{2}-1}\left(1-2 \sin ^{2} \alpha\right)$
$=\left(\mathrm{x}^{2}-1\right)\left(1-\frac{2}{\mathrm{x}^{2}}\right)=\frac{\mathrm{x}^{4}-3 \mathrm{x}^{2}+2}{\mathrm{x}^{2}}$
$=x^{2}+\frac{2}{x^{2}}-3 \geq 2 \sqrt{2}-3$,
∴ 当且仅当 $\mathrm{x}^{2}=\sqrt{2}$ 时取＂$=$＂，故 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}-3$ ．
故选：D．

【点评】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法－－判别式法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力。