（12分）（2009•陕西）已知双曲线C的方程为 y^ 2…——2009 高考数学第 21 题答案解析

【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（I）先由双曲线标准方程求得顶点坐标和渐近线方程，进而根据顶点到渐近线的距离求得 $a, b$ 和 $c$ 的关系，进而根据离心率求得 $a$ 和 $c$ 的关系，最后根据 $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ 综合得方程组求得 $a, b$ 和 $c$ ，则双曲线方程可得．
（II）由（I）可求得渐近线方程，设 $\mathrm{A}(\mathrm{m}, 2 \mathrm{~m}), \mathrm{B}(-\mathrm{n}, 2 \mathrm{n})$ ，根据 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{PB}}$ 得 P点的坐标代入双曲线方程化简整理 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 与 $\lambda$ 的关系式，设 $\angle \mathrm{AOB}=2 \theta$ ，进而根据直线的斜率求得 $\tan \theta$ ，进而求得 $\sin 2 \theta$ ，进而表示出 $|O A|$ ，得到 $\triangle A O B$ 的面积的表达式，根据 $\lambda$ 的范围求得三角形面积的最大值和最小值，$\triangle \mathrm{AOB}$ 面积的取值范围可得。
【解答】解：（I）由题意知，双曲线C的顶点（O，a）到渐近线 $\mathrm{ax}-\mathrm{by}=0$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，
$\therefore \frac{\mathrm{ab}}{\sqrt{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}}}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，即 $\frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{c}}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，
由 $\left\{\begin{array}{l}\frac{a b}{c}=\frac{2 \sqrt{5}}{5} \\ \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2} \\ c^{2}=a^{2}+b^{2}\end{array}\right.$, 得 $\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=1 \\ c=\sqrt{5}\end{array}\right.$
∴ 双曲线 C 的方程为 $\frac{\mathrm{y}^{2}}{4}-\mathrm{x}^{2}=1$ ．

（II）由（I）知双曲线C的两条渐近线方程为 $\mathrm{y}= \pm 2 \mathrm{x}$ ．
设 $\mathrm{A}(\mathrm{m}, 2 \mathrm{~m}), \mathrm{B}(-\mathrm{n}, 2 \mathrm{n}), \mathrm{m}>0, \mathrm{n}>0$ ．
由 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{PB}}$ 得 P 点的坐标为 $\left(\frac{\mathrm{m}-\lambda_{\mathrm{n}}}{1+\lambda}, \frac{2\left(\mathrm{~m}+\lambda_{\mathrm{n}}\right)}{1+\lambda}\right)$ ，
将 P 点坐标代入 $\frac{y^{2}}{4}-x^{2}=1$ ，化简得 $m n=\frac{(1+\lambda)^{2}}{4 \lambda}$ ．
设 $\angle \mathrm{AOB}=2 \theta, \because \tan \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=2, \therefore \tan \theta=\frac{1}{2}, \sin \theta=\frac{\sqrt{5}}{5}, \sin 2 \theta=\frac{4}{5}$ ．
又 $|O A|=\sqrt{5} \mathrm{~m},|O B|=\sqrt{5} \mathrm{n}_{+}$
$\therefore S_{\triangle A O B}=\frac{1}{2}|O A| \cdot|O B| \cdot \sin 2 \theta=2 \pi n=\frac{1}{2}\left(\lambda+\frac{1}{\lambda}\right)+1$ ．
记S $(\lambda)=\frac{1}{2}\left(\lambda+\frac{1}{\lambda}\right)+1, \lambda \in\left[\frac{1}{3}, 2\right]$ ，
由 $\mathrm{S}^{\prime}(\lambda)=0$ 得 $\lambda=1$ ，又 $\mathrm{S}(1)=2, \mathrm{~S}\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{8}{3}, \mathrm{~S}(2)=\frac{9}{4}$ ，
当 $\lambda=1$ 时，$\triangle \mathrm{AOB}$ 的面积取得最小值 2 ，当 $\lambda=\frac{1}{3}$ 时，
$\triangle \mathrm{AOB}$ 的面积取得最大值 $\frac{8}{3 .}$
$\therefore \triangle \mathrm{AOB}$ 面积的取值范围是 $\left[2, \frac{8}{3}\right]$ ．
【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程和直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题的能力。