2009 高考数学第 21 题答案解析

21．（12分）（2009•陕西）已知双曲线C的方程为 $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ ，离心率 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，顶点到渐近线的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．
（I）求双曲线 C 的方程；
（II）如图， P 是双曲线 C 上一点， $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{PB}}, \lambda \in\left[\frac{1}{3}, 2\right]$ ，求 $\triangle \mathrm{AOB}$ 面积的取值范围．