2013_大纲版 (2013·文)
22．（12分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$
，$F_{2}$ ，离心率为 3 ，直线 $y=2$ 与 $C$ 的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$ ．
（1）求 $a$ ，$b$ ；
（II）设过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $\left|A F_{1}\right|=\left|B F_{1}\right|$ ，证明：$\left|A F_{2}\right|$ 、 $|A B|$ 、 $\left|B F_{2}\right|$ 成等比数列。
【考点】K4：椭圆的性质；$K H$ ：直线与圆锥曲线的综合．
【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（I）由题设，可由离心率为 3 得到参数 $a$ ，$b$ 的关系，将双曲线的方程用参数 a 表示出来，再由直线 $\mathrm{y}=2$ 与 C 的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$ 建立方程求出参数 a 即可得到双曲线的方程；
（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线 $l$的方程设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}\right.$ ， $y_{2}$ ），将其与双曲线 $C$ 的方程联立，得出 $x_{1}+x_{2}=\frac{6 k^{2}}{k^{2}-8}, x_{1} x_{2}=\frac{9 k^{2}+8}{k^{2}-8}$ ，再利用 $\left|A F_{1}\right|=\left|B F_{1}\right|$ 建立关于 $A$ ，$B$ 坐标的方程，得出两点横坐标的关系 $x_{1}+x_{2}=-\frac{2}{3}$ ，由此方程求出 k 的值，得出直线的方程，从而可求得：$\left|\mathrm{AF} F_{2}\right| ,|\mathrm{AB}| ,\left|\mathrm{BF}_{2}\right|$ ，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论。
【解答】解：（1）由题设知 $\frac{c}{a}=3$ ，即 $\frac{b^{2}+a^{2}}{a^{2}}=9$ ，故 $b^{2}=8 a^{2}$
所以C的方程为 $8 x^{2}-y^{2}=8 a^{2}$
将 $\mathrm{y}=2$ 代入上式，并求得 $\mathrm{x}= \pm \sqrt{\mathrm{a}^{2}+\frac{1}{2}}$ ，
由题设知， $2 \sqrt{a^{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{6}$ ，解得 $a^{2}=1$
所以 $a=1, b=2 \sqrt{2}$
（II）由（I）知，$F_{1}(-3,0), F_{2}(3,0), C$ 的方程为 $8 x^{2}-y^{2}=8$①
由题意，可设I的方程为 $y=k(x-3),|k|<2 \sqrt{2}$ 代入①并化简得 $\left(k^{2}-8\right) x^{2}-6 \mathrm{k}^{2} \mathrm{x}+9 \mathrm{k}^{2}+8=0$
设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
则 $x_{1} \leq-1, x_{2} \geq 1, x_{1}+x_{2}=\frac{6 k^{2}}{k^{2}-8}, x_{1} x_{2}=\frac{9 k^{2}+8}{k^{2}-8}$ ，于是
$\left|A F_{1}\right|=\sqrt{\left(x_{1}+3\right)^{2}+y_{1}{ }^{2}}=\sqrt{\left(x_{1}+3\right)^{2}+8 x_{1}{ }^{2}-8}=-\left(3 x_{1}+1\right)$,
$\left|B F_{1}\right|=\sqrt{\left(x_{2}+3\right)^{2}+y_{2}{ }^{2}}=\sqrt{\left(x_{2}+3\right)^{2}+8 x_{2}{ }^{2}-8}=3 x_{2}+1$ ，
$\left|A F_{1}\right|=\left|B F_{1}\right|$ 得 $-\left(3 x_{1}+1\right)=3 x_{2}+1$ ，即 $x_{1}+x_{2}=-\frac{2}{3}$
故 $\frac{6 k^{2}}{k^{2}-8}=-\frac{2}{3}$ ，解得 $k^{2}=\frac{4}{5}$ ，从而 $x_{1} x_{2}=\frac{9 k^{2}+8}{k^{2}-8}=-\frac{19}{9}$
由于 $\left|A F_{2}\right|=\sqrt{\left(x_{1}-3\right)^{2}+y_{1}{ }^{2}}=\sqrt{\left(x_{1}-3\right)^{2}+8 x_{1}{ }^{2}-8}=1-3 x_{1}$ ，
$\left|\mathrm{BF}_{2}\right|=\sqrt{\left(\mathrm{x}_{2}-3\right)^{2}+\mathrm{y}_{2}{ }^{2}}=\sqrt{\left(\mathrm{x}_{2}-3\right)^{2}+8 \mathrm{x}_{2}{ }^{2}-8}=3 \mathrm{x}_{2}-1$ ，
故 $|A B|=\left|A F_{2}\right|-\left|B F_{2}\right|=2-3\left(x_{1}+x_{2}\right)=4,\left|A F_{2}\right|\left|B F_{2}\right|=3\left(x_{1}+x_{2}\right)-9 x_{1} x_{2}-1=16$
因而 $\left|A F_{2}\right|\left|B F_{2}\right|=|A B|^{2}$ ，所以 $\left|A F_{2}\right| ,|A B| ,\left|B F_{2}\right|$ 成等比数列
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴。