已知椭圆 C : x^ 2 9 + y^ 2 4 =1，点…——2014 高考数学第 15 题答案解析

【答案】 12

## 【解析】

试题分析：设 $M, N$ 的中点坐标为 $P, M\left(x_{M}, y_{M}\right) N\left(x_{N}, y_{N}\right), P\left(x_{P}, y_{P}\right), A\left(x_{A}, y_{A}\right), B\left(x_{B}, y_{B}\right)$ ，则 $x_{M}+x_{A}=-2 \sqrt{5}, x_{M}+x_{B}=2 \sqrt{5}$,

$y_{M}+y_{A}=0, y_{M}+y_{B}=0, x_{M}+x_{N}=2 x_{p}, y_{M}+y_{N}=2 y_{p}$ ；由于
$|A N|+|B N|=\sqrt{\left(x_{A}-x_{N}\right)^{2}+\left(y_{A}-y_{N}\right)^{2}}+\sqrt{\left(x_{B}-x_{N}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{N}\right)^{2}}$ ，化简可得
$|A N|+|B N|=2\left(\sqrt{\left(x_{p}+\sqrt{5}\right)^{2}+y_{p}^{2}}+\sqrt{\left(x_{p}-\sqrt{5}\right)^{2}+y_{p}^{2}}\right)$ ，根据随圆的定义
$\sqrt{\left(x_{p}+\sqrt{5}\right)^{2}+y_{p}^{2}}+\sqrt{\left(x_{p}-\sqrt{5}\right)}+y_{p}^{2}=2 \times 3=0$ ，所以 $|A N|+|B N|=12$ ．
考点：1．椭圆的定义；2．两点距落公式．