（5 分）已知 a_ n 为等比数列，下面结论中正确的是（）——2012 高考数学第 6 题答案解析

【考点】87：等比数列的性质．
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】 $a_{1}+a_{3}=\frac{a_{2}}{q}+a_{2} q$ ，当且仅当 $a_{2}, q$ 同为正时，$a_{1}+a_{3} \geqslant 2 a_{2}$ 成立； $a_{1}^{2}+a_{3}^{2}=\left(\frac{a_{2}}{q}\right)^{2}+\left(a_{2} q\right)^{2} \geqslant 2 a_{2}^{2}$ ，所以 $a_{1}^{2}+a_{3}^{2} \geqslant 2 a_{2}^{2}$ ；若 $a_{1}=a_{3}$ ，则 $a_{1}=a_{1} q^{2}$ ，从而可知 $a_{1}=a_{2}$ 或 $a_{1}=-a_{2}$ ；若 $a_{3}>a_{1}$ ，则 $a_{1} q^{2}>a_{1}$ ，而 $a_{4}-a_{2}=a_{1} q\left(q^{2}-1\right)$ ，其正负由 q 的符号确定，故可得结论。

【解答】解：设等比数列的公比为 $q$ ，则 $a_{1}+a_{3}=\frac{a_{2}}{q}+a_{2} q$ ，当且仅当 $a_{2}, q$ 同为正时，$a_{1}+a_{3} \geqslant 2 a_{2}$ 成立，故 $A$ 不正确；
$a_{1}^{2}+a_{3}^{2}=\left(\frac{a_{2}}{q}\right)^{2}+\left(a_{2} q\right)^{2} \geqslant 2 a_{2}^{2}, \quad \therefore a_{1}^{2}+a_{3}^{2} \geqslant 2 a_{2}^{2}$ ，故B正确；
若 $a_{1}=a_{3}$ ，则 $a_{1}=a_{1} q^{2}, \therefore q^{2}=1, \therefore q= \pm 1, \therefore a_{1}=a_{2}$ 或 $a_{1}=-a_{2}$ ，故 C 不正确；
若 $a_{3}>a_{1}$ ，则 $a_{1} q^{2}>a_{1}, \therefore a_{4}-a_{2}=a_{1} q\left(q^{2}-1\right)$ ，其正负由 $q$ 的符号确定，故 D不正确

故选：B．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．