7．（5 分）（2008•四川）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=1$ ，则其前 3 项的和 $S_{3}$ 的取值范围是（）
（5 分）（2008•四川）已知等比数列 a_ n 中，…——2008 高考数学第 7 题答案解析
2008_退役省自主命题 (2008·理)
完整解析 · 逐步详解
【考点】等比数列的前 n 项和．
【分析】首先由等比数列的通项入手表示出 $\mathrm{S}_{3}$（即 q 的代数式），然后根据 q 的正负性进行分类，最后利用均值不等式求出 $S_{3}$ 的范围。
【解答】解：∵ 等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=1$
$\therefore S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=a_{2}\left(1+q+\frac{1}{q}\right)=1+q+\frac{1}{q}$
∴ 当公比 $q>0$ 时，$S_{3}=1+q+\frac{1}{q} \geqslant 1+2 \sqrt{q \cdot \frac{1}{q}}=3$ ；
当公比 $q<0$ 时，$S_{3}=1-\left(-q-\frac{1}{q}\right) \leqslant 1-2 \sqrt{-q \cdot\left(-\frac{1}{q}\right)}=-1$ ．
$\therefore S_{3} \in(-\infty,-1] \cup[3,+\infty)$ ．
故选 D．
【点评】本题考查等比数列前 n 项和的意义、等比数列的通项公式及均值不等式的应用．
✅ 来源：2008年 · 全国 · 2008_退役省自主命题 (2008·理) · 第 7 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
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