（14分）已知抛物线 C: x^ 2 =-2 p y 经过…——2019 高考数学第 18 题答案解析

【分析】（I）代入点（2，－1），解方程可得 $p$ ，求得抛物线的方程和准线方程；
（II）抛物线 $x^{2}=-4 y$ 的焦点为 $F(0,-1)$ ，设直线方程为 $y=k x-1$ ，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得 $A, B$ 的坐标，可得 $A B$ 为直径的圆方程，可令 $x=0$ ，解方程，即可得到所求定点．

【解答】解：（I ）抛物线 $C: x^{2}=-2 p y$ 经过点 $(2,-1)$ ．可得 $4=2 p$ ，即 $p=2$ ，

可得抛物线 $C$ 的方程为 $x^{2}=-4 y$ ，准线方程为 $y=1$ ；
（II）证明：抛物线 $x^{2}=-4 y$ 的焦点为 $F(0,-1)$ ，
设直线方程为 $y=k x-1$ ，联立抛物线方程，可得 $x^{2}+4 k x-4=0$ ，
设 $M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
可得 $x_{1}+x_{2}=-4 k, x_{1} x_{2}=-4$ ，
直线 $O M$ 的方程为 $y=\frac{y_{1}}{x_{1}} x$ ，即 $y=-\frac{x_{1}}{4} x$ ，
直线 $O N$ 的方程为 $y=\frac{\mathrm{y}_{2}}{\mathrm{x}_{2}} x$ ，即 $y=-\frac{\mathrm{x}_{2}}{4} x$ ，
可得 $A\left(\frac{4}{\mathrm{x}_{1}},-1\right), B\left(\frac{4}{\mathrm{x}_{2}},-1\right)$ ，
可得 $A B$ 的中点的横坐标为 $2\left(\frac{1}{\mathrm{x}_{1}}+\frac{1}{\mathrm{x}_{2}}\right)=2 \cdot \frac{-4 \mathrm{k}}{-4}=2 k$ ，
即有 $A B$ 为直径的圆心为 $(2 k,-1)$ ，半径为 $\frac{|\mathrm{AB}|}{2}=\frac{1}{2}\left|\frac{4}{\mathrm{x}_{1}}-\frac{4}{\mathrm{x}_{2}}\right|=2 \cdot \frac{\sqrt{16 \mathrm{k}^{2}+16}}{4}=2 \sqrt{1+\mathrm{k}^{2}}$ ，

可得圆的方程为 $(x-2 k)^{2}+(y+1)^{2}=4\left(1+k^{2}\right)$ ，
化为 $x^{2}-4 k x+(y+1)^{2}=4$ ，
由 $x=0$ ，可得 $y=1$ 或 -3 。
则以 $A B$ 为直径的圆经过 $y$ 轴上的两个定点 $(0,1),(0,-3)$ ．
【点评】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．