（12分）（2008 • 陕西）一个口袋中装有大小相同的…——2008 高考数学第 18 题答案解析

【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题．
【分析】（I）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从袋中依次摸出 2 个球共有 $\mathrm{A}_{9}{ }^{2}$ 种结果，满足条件的事件是第一次摸出黑球、第二次摸出白球有 $\mathrm{A}_{3}{ }^{1} \mathrm{~A}_{4}{ }^{1}$ 种结果，或者是题目按照相互独立事件同时发生的概率来理解。
（II）摸球不超过三次，包括第一次摸到红球，第二次摸到红球，第三次摸到红球，这三个事件是互斥的 ，分别写出三个事件的概率，根据互斥事件的概率得到结果。
【解答】解：（I ）由题意知，本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是从袋中依次摸出 2 个球共有 $\mathrm{A}_{9}{ }^{2}$ 种结果，
满足条件的事件是第一次摸出黑球、第二次摸出白球有 $\mathrm{A}_{3}{ }^{1} \mathrm{~A}_{4}{ }^{1}$ 种结果，

∴ 所求概率 $\mathrm{P}_{1}=\frac{\mathrm{A}_{3}^{1} \mathrm{~A}_{4}^{1}}{\mathrm{~A}_{9}^{2}}=\frac{1}{6}$（或 $\mathrm{P}_{1}=\frac{3}{9} \times \frac{4}{8}=\frac{1}{6}$ ）
（II）摸球不超过三次，包括第一次摸到红球，
第二次摸到红球，第三次摸到红球，
这三个事件是互斥的
第一次摸出红球的概率为 $\frac{\mathrm{A}_{2}^{1}}{\mathrm{~A}_{9}^{1}}$ ，
第二次摸出红球的概率为 $\frac{\mathrm{A}_{7}^{1} \mathrm{~A}_{2}^{1}}{\mathrm{~A}_{9}^{2}}$ ，
第三次摸出红球的概率为 $\frac{\mathrm{A}_{7}^{2} \mathrm{~A}_{2}^{1}}{\mathrm{~A}_{9}^{3}}$ ，
则摸球次数不超过 3 次的概率为 $\mathrm{P}_{2}=\frac{\mathrm{A}_{2}^{1}}{\mathrm{~A}_{9}^{1}}+\frac{\mathrm{A}_{7}^{1} \mathrm{~A}_{2}^{1}}{\mathrm{~A}_{9}^{2}}+\frac{\mathrm{A}_{7}^{2} \mathrm{~A}_{2}^{1}}{\mathrm{~A}_{9}^{3}}=\frac{7}{12}$ ．
【点评】本题考查互斥事件的概率，考查相互独立事件同时发生的概率，考查古典概型，是一个综合题，解题时关键在于理解题意，同一个题目可以有不同的解法。