已知数列 a_ n 的各项均为正数，记 S_ n 为 a_…——2021 高考数学第 18 题答案解析

【答案】答案见解析
【解析】
【分析】选（1）（2）作条件证明（3）时，可设出 $\sqrt{S_{n}}$ ，结合 $a_{n}, S_{n}$ 的关系求出 $a_{n}$ ，利用 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列可证
$a_{2}=3 a_{1} ;$
选（1）（3）作条件证明（2）时，根据等差数列的求和公式表示出 $\sqrt{S_{n}}$ ，结合等差数列定义可证；
选（2）（3）作条件证明（1）时，设出 $\sqrt{S_{n}}=a n+b$ ，结合 $a_{n}, S_{n}$ 的关系求出 $a_{n}$ ，根据 $a_{2}=3 a_{1}$ 可求 $b$ ，然后可证 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列．

【详解】选（1）（2）作条件证明（3）：
设 $\sqrt{S_{n}}=a n+b(a>0)$ ，则 $S_{n}=(a n+b)^{2}$ ，
当 $n=1$ 时，$\quad a_{1}=S_{1}=(a+b)^{2}$ ；
当 $n \geq 2$ 时，$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=(a n+b)^{2}-(a n-a+b)^{2}=a(2 a n-a+2 b)$ ；
因为 $\left\{a_{n}\right\}$ 也是等差数列，所以 $(a+b)^{2}=a(2 a-a+2 b)$ ，解得 $b=0$ ；
所以 $a_{n}=a^{2}(2 n-1)$ ，所以 $a_{2}=3 a_{1}$ ．
选（1）（3）作条件证明（2）：
因为 $a_{2}=3 a_{1},\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，

所以公差 $d=a_{2}-a_{1}=2 a_{1}$ ，
所以 $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=n^{2} a_{1}$ ，即 $\sqrt{S_{n}}=\sqrt{a_{1}} n$ ，
因为 $\sqrt{S_{n+1}}-\sqrt{S_{n}}=\sqrt{a_{1}}(n+1)-\sqrt{a_{1}} n=\sqrt{a_{1}}$ ，
所以 $\left\{\sqrt{S_{n}}\right\}$ 是等差数列．
选（2）（3）作条件证明（1）：
设 $\sqrt{S_{n}}=a n+b(a>0)$ ，则 $S_{n}=(a n+b)^{2}$ ，
当 $n=1$ 时，$a_{1}=S_{1}=(a+b)^{2}$ ；
当 $n \geq 2$ 时，$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=(a n+b)^{2}-(a n-a+b)^{2}=a(2 a n-a+2 b)$ ；
因为 $a_{2}=3 a_{1}$ ，所以 $a(3 a+2 b)=3(a+b)^{2}$ ，解得 $b=0$ 或 $b=-\frac{4 a}{3}$ ；
当 $b=0$ 时，$a_{1}=a^{2}, a_{n}=a^{2}(2 n-1)$ ，当 $n \geq 2$ 时，$a_{n}-a_{n-1}=2 a^{2}$ 满足等差数列的定义，此时 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差
数列；
当 $b=-\frac{4 a}{3}$ 时，$\sqrt{S_{n}}=a n+b=a n-\frac{4}{3} a, \sqrt{S_{1}}=-\frac{a}{3}<0$ 不合题意，舍去．
综上可知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列。
【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法。