（本小题满分 13 分） 若 A、 B 是抛物线 y^ 2…——2008 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
（本小题满分 13 分）
若 $A , B$ 是抛物线 $y^{2}=4 x$ 上的不同两点，弦 AB （不平行于 $y$ 轴）的垂直平分线与 $x$ 轴相交于点 $P$ ，则称弦 $A B$ 是点 $P$ 的一条＂相关弦＂。已知当 $x>2$ 时，点 $P(x, 0)$存在无穷多条＂相关弦＂。给定 $x_{0}>2$ 。
（I）证明：点 $P\left(x_{0}, 0\right)$ 的所有＂相关弦＂中的中点的横坐标相同；
（II）试问：点 $\mathrm{P}\left(x_{0}, 0\right)$ 的＂相关弦＂的弦长中是否存在最大值？

若存在，求其最大值（用 $x_{0}$ 表示）：若不存在，请说明理由．
解：（I）设 $A B$ 为点 $\mathrm{P}\left(x_{0}, 0\right)$ 的任意一条＂相关弦＂，且点 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 的坐标分别是
$\left(x_{1}, y_{1}\right) ,\left(x_{2}, y_{2}\right)\left(x_{1} \neq \mathrm{x}_{2}\right)$ ，则 $\mathrm{y}^{2}{ }_{1}=4 \mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}^{2}{ }_{2}=4 \mathrm{x}_{2}$ ，
两式相减得 $\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(y_{1}-y_{2}\right)=4\left(x_{1}-x_{2}\right)$ 。因为 $x_{1} \neq \mathrm{x}_{2}$ ，所以 $y_{1}+y_{2} \neq 0$ ．
设直线 $A B$ 的斜率是 $k$ ，弦 AB 的中点是 $M\left(x_{m}, y_{m}\right)$ ，则
$\mathrm{k}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{4}{y_{1}+y_{2}}=\frac{2}{y_{m}}$ ．从而 $A B$ 的垂直平分线 $l$ 的方程为 $y-y_{m}=-\frac{y_{m}}{2}\left(x-x_{m}\right)$ ．
又点 $\mathrm{P}\left(x_{0}, 0\right)$ 在直线 $l$ 上，所以 $-y_{m}=-\frac{y_{m}}{2}\left(x_{0}-x_{m}\right)$ ．
而 $y_{m} \neq 0$ ，于是 $x_{m}=x_{0}-2$ ．故点 $\mathrm{P}\left(x_{0}, 0\right)$ 的所有＂相关弦＂的中点的横坐标都是 $x_{0}-2$ ．
（II）由（I）知，弦 $A B$ 所在直线的方程是 $y-y_{m}=k\left(x-x_{m}\right)$ ，代入 $y^{2}=4 x$ 中，
整理得 $k^{2} x^{2}+2\left[k\left(y_{m}-k x_{m}\right)-2\right] x+\left(y_{m}-k x_{m}\right)^{2}=0$ ．

则 $x_{1} , x_{2}$ 是方程（ ⋅ ）的两个实根，且 $x_{1} \cdot x_{2}=\frac{\left(y_{m}-k x_{m}\right)^{2}}{k^{2}}$ ．
设点 $P$ 的＂相关弦＂$A B$ 的弦长为 $l$ ，则

$$ \begin{aligned} & l^{2}=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(1+k^{2}\right)\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2} \\ & =\left(1+k^{2}\right)\left[\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}\right]=4\left(1+k^{2}\right)\left(x_{m}^{2}-x_{1} x_{2}\right) \\ & =4\left(1+\frac{4}{y_{m}^{2}}\right)\left[x_{m}^{2}-\frac{\left(y_{m}-\frac{2}{y_{m}} x_{m}\right)^{2}}{\frac{4}{y_{m}^{2}}}\right] \\ & =\left(4+y_{m}^{2}\right)\left(4 x_{m}-y_{m}^{2}\right)=-y_{m}^{4}+4 y_{m}^{2}\left(x_{m}-1\right)+16 x_{m} \\ & =4\left(x_{m}+1\right)^{2}-\left[y_{m}^{2}-2\left(x_{m}-1\right)\right]^{2}=4\left(x_{0}-1\right)^{2}-\left[y_{m}^{2}-2\left(x_{0}-3\right)\right]^{2} \end{aligned} $$

因为 $0记 $l^{2}=g(t)=-\left[\mathrm{t}-2\left(\mathrm{x}_{0}-3\right)\right]^{2}+4\left(\mathrm{x}_{0}-1\right)^{2}$ ．
若 $\mathrm{x}_{0}>3$ ，则 $2\left(\mathrm{x}_{0}-3\right) \in\left(0,4 x_{0}-8\right)$ ，所以当 $\mathrm{t}=2\left(\mathrm{x}_{0}-3\right)$ ，即 $y_{m}^{2}=2\left(\mathrm{x}_{0}-3\right)$ 时，
$l$ 有最大值 $2\left(\mathrm{x}_{0}-1\right)$ 。
若 $2<\mathrm{x}_{0}<3$ ，则 $2\left(\mathrm{x}_{0}-3\right) \leq 0, g(t)$ 在区间 $\left(0,4 \mathrm{x}_{0}-8\right)$ 上是减函数，
所以 $0综上所述，当 $\mathrm{x}_{0}>3$ 时，点 $P\left(\mathrm{x}_{0}, 0\right)$ 的＂相关弦＂的弦长中存在最大值，且最大值
为 $2\left(\mathrm{x}_{0}-1\right)$ ；当 $2<\mathrm{x}_{0} \leq 3$ 时，点 $P\left(\mathrm{x}_{0}, 0\right)$ 的＂相关弦＂的弦长中不存在最大值．