7．已知 $P$ 是边长为 2 的正六边形 $A B C D E F$ 内的一点，则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A B}$ 的取值范用是
参考答案
A
已知 P 是边长为 2 的正六边形 A B C D E F…——2020 高考数学第 7 题答案解析
2020_新课标 I 卷 (2020)
完整解析 · 逐步详解
【解答】
已知 $P$ 是边长为 2 的正六边形 $A B C D E F$ 内的一点，则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A B}$ 的取值范用是
A．$(-2,6)$
B．$(-6,2)$
C．$(-2,4)$
D．$(-4,6)$
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到 $\overrightarrow{A P}$ 在 $\overrightarrow{A B}$ 方向上的投影的取值范围是 $(-1,3)$ ，利用向量数量积的定义式，求得结果．
【详解】
$\overrightarrow{A B}$ 的模为 2 ，根据正六边形的特征，
可以得到 $\overrightarrow{A P}$ 在 $\overrightarrow{A B}$ 方向上的投影的取值范围是 $(-1,3)$ ，
结合向量数量积的定义式，
可知 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A B}$ 等于 $\overrightarrow{A B}$ 的模与 $\overrightarrow{A P}$ 在 $\overrightarrow{A B}$ 方向上的投影的乘积，
所以 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A B}$ 的取值范围是 $(-2,6)$ ，
故选：A．
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目。
✅ 来源：2020年 · 全国 · 2020_新课标 I 卷 (2020) · 第 7 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
再练一道 · 同类压轴题
2022 压轴题 · 2022_北京卷 (2022)
在 $\triangle A B C$ 中，$A C=3, B C=4, \angle C=90^{\circ} . P$ 为 $\triangle A B C$ 所在平面内的动点，且 $P C=1$ ，则 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$ 的取值范围是（ ）
2021 压轴题 · 2021_天津卷 (2021)
在边长为 1 的等边三角形 $A B C$ 中，$D$ 为线段 $B C$ 上的动点，$D E \perp A B$ 且交 $A B$ 于点 $E$ ． $D F / / A B$ 且交 $A C$ 于点 $F$ ，则 $|2 \overrightarrow{B E}+\overrightarrow{D F}|$ 的值为 $\_\_\_\_$ ；$(\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{D F}) \cdot \overrightarrow{D A}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。
2023 区分题 · 2023_北京卷 (2023)
已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a}+\vec{b}=(2,3), \vec{a}-\vec{b}=(-2,1)$ ，则 $|\vec{a}|^{2}-|\vec{b}|^{2}=$（ ）