（5分）数列 a_ n 满足 a_ n+1 +(-1) ^…——2012 高考数学第 12 题答案解析

【考点】8E：数列的求和．
【专题】 54 ：等差数列与等比数列．
【分析】由题意可得

$$ a_{2}-a_{1}=1, \quad a_{3}+a_{2}=3, \quad a_{4}-a_{3}=5, \quad a_{5}+a_{4}=7, \quad a_{6}-a_{5}=9, \quad a_{7}+a_{6}=11, \quad \ldots a_{50}-a_{49}=97 $$

，变形可得

$$ \begin{aligned} & a_{3}+a_{1}=2, \quad a_{4}+a_{2}=8, \quad a_{7}+a_{5}=2, \quad a_{8}+a_{6}=24, \quad a_{9}+a_{7}=2, \quad a_{12}+a_{10}=40, \quad a_{13}+a_{11}=2, \quad a_{16}+a_{14} \\ & \quad=56, \quad . . \text { 利用 } \end{aligned} $$

数列的结构特征，求出 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 60 项和．
【解答】解：由于数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}+(-1) n \quad a_{n}=2 n-1$ ，故有

$$ \begin{gathered} a_{2}-a_{1}=1, \quad a_{3}+a_{2}=3, \quad a_{4}-a_{3}=5, \\ a_{5}+a_{4}=7, \quad a_{6}-a_{5}=9, \quad a_{7}+a_{6}=11, \quad \ldots a_{50}-a_{49}=97 . \end{gathered} $$

从而可得

$$ \begin{aligned} & a_{3}+a_{1}=2, a_{4}+a_{2}=8, a_{7}+a_{5}=2, a_{8}+a_{6}=24, \quad a_{11}+a_{9}=2, \quad a_{12}+a_{10}=40, \quad a_{15}+a_{13}=2, \quad a_{16} \\ & +a_{14}=56, \quad \ldots \end{aligned} $$

从第一项开始，依次取 2 个相邻奇数项的和都等于 2 ，
从第二项开始，依次取 2 个相邻偶数项的和构成以 8 为首项，以 16 为公差的等差数列．
$\left\{a_{n}\right\}$ 的前 60 项和为 $15 \times 2+\left(15 \times 8+\frac{15 \times 14}{2} \times 16\right)=1830$ ，
故选：D．
【点评】本题主要考查数列求和的方法，等差数列的求和公式，注意利用数列的结构特征，属于中档题．

## 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．