如图，双曲线 x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2…_2012全国高考数学第14题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

14．如图，双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$ 的两顶点为 $\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}$ ，虚轴两端点为 $\mathrm{B} 1, \mathrm{~B} 2$ ，两焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ．若以 $A_{1} A_{2}$ 为直径的圆内切于菱形 $F_{1} B_{1} F_{2} B_{2}$ ，切点分别为 $A, B, C, D$ 。则
（I）双曲线的离心率 $\mathrm{e}=$ $\_\_\_\_$ ；
（II）菱形 $\mathrm{F}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{~F}_{2} \mathrm{~B}_{2}$ 的面积 $\mathrm{S}_{1}$ 与矩形 ABCD 的面积 $\mathrm{S}_{2}$ 的比值 $\frac{S_{1}}{S_{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

Accepted Answer

（I）$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ ；（II）$\frac{\sqrt{5}+2}{2}$

【答案】（I）$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ ；（II）$\frac{\sqrt{5}+2}{2}$
【解析】（I）在 $\Delta F_{1} O B_{1}$ 中，$a \cdot \sqrt{b^{2}+c^{2}}=b c$ ，整理得 $c^{4}-3 a^{2} c^{2}+a^{4}=0$ ，即
$e^{4}-3 e^{2}+1=0$ ，解得 $e^{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ ，即 $e=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ ；（II）由图分析可知，面积之比为

$$ \frac{b c}{a^{2}}=\sqrt{\frac{\left(c^{2}-a^{2}\right) c^{2}}{a^{4}}}=\sqrt{e^{4}-e^{2}}=\frac{\sqrt{5}+2}{2} . $$

【考点定位】本小题考查双曲线离心率的求解，考查直线与圆相切等基础知识，考查了同学门分析问题和解决问题的能力．

如图，双曲线 x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2…——2012 高考数学第 14 题答案解析

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