设直线 l 与抛物线 y^ 2 =4 x 相交于 A ,…——2015 高考数学第 10 题答案解析

【答案】D

## 【解析】

显然当直线 $l$ 的斜率不存在时，必有两条直线满足题设当直线 $l$ 的斜率存在时，设斜率为 $k$。设
$A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), x_{1} \neq x_{2}, M\left(x_{0}, y_{0}\right)$，则 $\left\{\begin{array}{l}y_{1}^{2}=4 x_{1} \\ y_{2}^{2}=4 x_{2}\end{array}\right.$，相减得 $\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(y_{1}-y_{2}\right)=4\left(x_{1}-x_{2}\right)$。由于 $x_{1} \neq x_{2}$，所以 $\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \cdot \frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=2$，即 $k y_{0}=2$。圆心为 $C(5,0)$，由 $C M \perp A B$ 得 $k \cdot \frac{y_{0}-0}{x_{0}-5}=-1, k y_{0}=5-x_{0}$，所以 $2=5-x_{0}, x_{0}=3$，即点 M 必在直线 $x=3$ 上．将 $x=3$ 代入 $y^{2}=4 x$ 得 $y^{2}=12, \therefore-2 \sqrt{3}0)$ 上，所以 $\left(x_{0}-5\right)^{2}+y_{0}{ }^{2}=r^{2}, r^{2}=y_{0}{ }^{2}+4<12+4=16$．又 $y_{0}{ }^{2}+4>4$（由于斜率不存在，故 $y_{0} \neq 0$，所以不取等号），所以 $4

【考点定位】直线与圆锥曲线，不等式．
【名师点睛】首先应结合图形进行分析。结合图形易知，只要圆的半径小于 $5=$，那么必有两条直线（即与 $x$轴。垂直的两条切线）满足题设，因此只需直线的斜率存在时，再有两条直线满足题设即可．接下来要解决的问题是当直线的斜率存在时，圆的半径的范围是什么．涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题，常常采用＂点差法＂。在本题中利用点差法可得，中点必在直线 $x=3$ 上，由此可确定中点的纵坐标 $y_{0}$ 的范围，利用这个范围即可得到 $r$ 的取值范围．

## 第II卷（共100分）