设直线 l 与抛物线 y^ 2 =4 x 相交于 A, B…——2015 高考数学第 10 题答案解析

【答案】 $D$

【解析】不妨设直线 $l: x=t y+m$，
代入抛物线方程有：$y^{2}-4 t y-4 m=0$
则 $\Delta=16 t^{2}+16 m>0$
又中点 $M\left(2 t^{2}+m, 2 t\right)$，则 $k_{M} k_{j}=-1$
即 $m=3-2 t^{2}$
当 $t=0$ 时，若 $r \geqslant 5$，满足条件的直线只有 1 条，不合题意，
若 $0<r<5$，则斜率不存在的直线有 2 条，此时只需对应非零的 $t$ 的直线恰有 2 条即可．
当 $t \neq 0$ 时，将 $m=3-2 t^{2}$ 代入 $\Delta=16 t^{2}+16 m$，可得 $3-t^{2}>0$，即 $0<t^{2}<3$
又由圆心到直线的距离等于半径，
可得 $d=r=\frac{|5-m|}{\sqrt{1+t^{2}}}=\frac{2+2 t^{2}}{\sqrt{1+t^{2}}}=2 \sqrt{1+t^{2}}$
由 $0<t^{2}<3$，可得 $r \in(2,4)$。选 $D$
【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题，考查数形结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力。

【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为 0，但有可能不存在，故将直线方程设为 $x=t y+m$，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论。在对 $x$ 的讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存。在 $(t=0)$ 时也必须要有两条直线满足条件．再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的 $r$ 取值范围即可．属于难题．