（5分）已知 F 是椭圆 C 的一个焦点， B 是短轴的一…——2010 高考数学第 16 题答案解析

【考点】K4：椭圆的性质．
【专题】16：压轴题；31：数形结合．

【分析】由椭圆的性质求出 $|\mathrm{BF}|$ 的值，利用已知的向量间的关系、三角形相似求出 D 的横坐标，再由椭圆的第二定义求出 $|\mathrm{FD}|$ 的值，又由 $|\mathrm{BF}|=2|\mathrm{FD}|$ 建立关于 $a$ 、 $c$ 的方程，解方程求出 $\frac{c}{a}$ 的值．

【解答】解：如图，$|B F|=\sqrt{b^{2}+c^{2}}=a$ ，
作 $\mathrm{DD}_{1} \perp \mathrm{y}$ 轴于点 $\mathrm{D}_{1}$ ，则由 $\overrightarrow{\mathrm{BF}}=2 \overrightarrow{\mathrm{FD}}$ ，得 $\frac{|\mathrm{OF}|}{\left|\mathrm{DD}_{1}\right|}=\frac{|\mathrm{BF}|}{|\mathrm{BD}|}=\frac{2}{3}$ ，所以，

$$ \left|\mathrm{DD}_{1}\right|=\frac{3}{2}|\mathrm{OF}|=\frac{3}{2} \mathrm{c}, $$

即 $x_{D}=\frac{3 c}{2}$ ，由椭圆的第二定义得 $|F D|=e\left(\frac{a^{2}}{c}-\frac{3 c}{2}\right)=a-\frac{3 c^{2}}{2 a}$
又由 $|B F|=2|F D|$ ，得 $a=2 a-\frac{3 c^{2}}{a}, a^{2}=3 c^{2}$ ，解得 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．

【点评】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点：＂数研究形，形助数＂，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．