（4 分）已知点 P(0,1)，椭圆 x^ 2 4 +y^…——2018 高考数学第 17 题答案解析

【考点】K4：椭圆的性质．
【专题】34：方程思想；48：分析法；5A：平面向量及应用；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程。

【分析】设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，运用向量共线的坐标表示，以及点满足椭圆方程，求得 $y_{1}, y_{2}$ ，有 $x_{2}{ }^{2}=m-\left(\frac{3-m}{2}\right)^{2}$ ，运用二次函数的最值求法，可得所求最大值和 $m$ 的值。

【解答】解：设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
由 $\mathrm{P}(0,1), \overrightarrow{\mathrm{AP}}=2 \overrightarrow{\mathrm{~PB}}$ ，
可得 $-x_{1}=2 x_{2}, 1-y_{1}=2\left(y_{2}-1\right)$ ，
即有 $x_{1}=-2 x_{2}, y_{1}+2 y_{2}=3$ ，
又 $x_{1}{ }^{2}+4 y_{1}{ }^{2}=4 m$ ，
即为 $x_{2}{ }^{2}+y_{1}{ }^{2}=m$ ，①
$x_{2}{ }^{2}+4 y_{2}{ }^{2}=4 m$ ，（2）
①－②得 $\left(y_{1}-2 y_{2}\right)\left(y_{1}+2 y_{2}\right)=-3 m$ ，
可得 $y_{1}-2 y_{2}=-m$ ，
解得 $y_{1}=\frac{3-m}{2}, y_{2}=\frac{3+m}{4}$ ，
则 $m=x_{2}^{2}+\left(\frac{3-m}{2}\right)^{2}$ ，
即有 $x_{2}{ }^{2}=m-\left(\frac{3-m}{2}\right)^{2}=\frac{-m^{2}+10 m-9}{4}=\frac{-(m-5)^{2}+16}{4}$ ，
即有 $m=5$ 时，$x_{2}{ }^{2}$ 有最大值 4 ，
即点 B 横坐标的绝对值最大。
故答案为： 5 ．
【点评】本题考查椭圆的方程和应用，考查向量共线的坐标表示和方程思想、转化思想，以及二次函数的最值的求法，属于中档题．