（20）（本小题满分 13 分） 设椭圆 E 的方程为 x…——2015 高考数学第 20 题答案解析

【答案】（I）$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ；（II）$\frac{x^{2}}{45}+\frac{y^{2}}{9}=1$ ．
【解析】
试题分析：（I）由题设条件，可得点 $M$ 的坐标为 $\left(\frac{2}{3} a, \frac{1}{3} b\right)$ ，利用 $k_{O M}=\frac{\sqrt{5}}{10}$ ，从而 $\frac{b}{2 a}=\frac{\sqrt{5}}{10}$ ，进而得 $a=\sqrt{5} b, c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=2 b$ ，算出 $e=\frac{c}{a}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．（II）由题设条件和（I）的计算结果知，直线 $A B$ 的方程为 $\frac{x}{\sqrt{5} b}+\frac{y}{b}=1$ ，得出点 $N$ 的坐标为 $\left(\frac{\sqrt{5}}{2} b,-\frac{1}{2} b\right)$ ，设点 $N$ 关于直线 $A B$ 的对称点 $S$ 的坐标为 $\left(x_{1}, \frac{7}{2}\right)$ ，则

线段 $N S$ 的中点 $T$ 的坐标为 $\left(\frac{\sqrt{5}}{4} b+\frac{x_{1}}{2},-\frac{1}{4} b+\frac{7}{4}\right)$ ．利用点 $T$ 在直线 $A B$ 上，以及 $k_{N S} \cdot k_{A B}=-1$ ，解得 $b=3$ ，
所以 $a=3 \sqrt{5}$ ，从而得到椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{45}+\frac{y^{2}}{9}=1$ ．
试题解析：（I）由题设条件知，点 $M$ 的坐标为 $\left(\frac{2}{3} a, \frac{1}{3} b\right)$ ，又 $k_{a M}=\frac{\sqrt{5}}{10}$ ，从而 $\frac{b}{2 a}=\frac{\sqrt{5}}{10}$ ，进而得
$a=\sqrt{5} b, c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=2 b$ ，故 $e=\frac{c}{a}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．
（II）由题设条件和（I）的计算结果可得，直线 $A B$ 的方程为 $\frac{x}{\sqrt{5} b}+\frac{y}{b}=1$ ，点 $N$ 的坐标为 $\left(\frac{\sqrt{5}}{2} b,-\frac{1}{2} b\right)$ ，
设点 $N$ 关于直线 $A B$ 的对称点 $S$ 的坐标为 $\left(x_{1}, \frac{7}{2}\right)$ ，则线段 $N S$ 的中点 $T$ 的坐标为 $\left(\frac{\sqrt{5}}{4} b+\frac{x_{1}}{2},-\frac{1}{4} b+\frac{7}{4}\right)$ ．又
点 $T$ 在直线 $A B$ 上，且 $k_{N S}-k_{A B}=-1$ ，从而有 $\left\{\begin{array}{l}\frac{\frac{\sqrt{5}}{4} b+\frac{x_{1}}{2}}{\sqrt{5} b}+\frac{-\frac{1}{4} b+\frac{7}{4}}{b}=1 \\ \frac{\frac{7}{2}+\frac{1}{2} b}{x_{1}-\frac{\sqrt{5} b}{2}}=\sqrt{5}\end{array}\right.$ 解得 $b=3$ ，所以 $a=3 \sqrt{5}$ ，故椭
圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{45}+\frac{y^{2}}{9}=1$ ．
【考点定位】1．椭圆的离心率；2．椭圆的标准方程；3．点点关于直线对称的应用．
【名师点睛】椭圆一直是解答题中考查解析几何知识的重要载体，不管对其如何进行改编与设计，抓住基础知识、考基本技能是不变的话题．解析几何主要研究两类问题：一是根据已知条件确定曲线方程，二是利用曲线方程研究曲线的几何性质。曲线方程的确定可分为两类：若已知曲线类型，则采用待定系数法；若曲线类型未知时，则可利用直接法、定义法、相关点法等求解．本题是第一种类型，要利用给定条件求出 $a, b$ 。