（13分）已知 a_ n 为等差数列，前 n 项和为 S_…——2017 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
（13分）（2017•天津）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in N^{*}\right),\left\{b_{n}\right.$ \}是首项为 2 的等比数列，且公比大于 $0, b_{2}+b_{3}=12, b_{3}=a_{4}-2 a_{1}, S_{11}=11 b_{4}$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）求数列 $\left\{a_{2 n} b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $\left(n \in N^{*}\right)$ 。
【分析】（I）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ．通过 $b_{2}+ b_{3}=12$ ，求出 $q$ ，得到 $b_{n}=2$ ．然后求出公差 $d$ ，推出 $a_{n}=3 n-2$ ．
（II）设数列 $\left\{a_{2 n} b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，利用错位相减法，转化求解数列 $\left\{a_{2 n} b_{n}\right\}$ 的前 n 项和即可。

【解答】（I）解：设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ．由已知 $b_{2}+b_{3}=12$ ，得 $b_{1}\left(q+q^{2}\right)=12$ ，而 $b_{1}=2$ ，所以 $q^{2}+q-6=0$ ．又因为 $q>0$ ，解得 $\mathrm{q}=2$ ．所以， $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=2^{\mathrm{n}}$ ．

由 $b_{3}=a_{4}-2 a_{1}$ ，可得 $3 d-a_{1}=8$ ．
由 $S_{11}=11 b_{4}$ ，可得 $a_{1}+5 d=16$ ，联立①②，解得 $a_{1}=1, d=3$ ，由此可得 $a_{n}=3 n-2$ ．

所以，$\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=3 n-2,\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式为 $b_{n}=2^{n}$ 。
（II）解：设数列 $\left\{a_{2 n} b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，由 $a_{2 n}=6 n-2$ ，有
$\mathrm{T}_{\mathrm{n}}=4 \times 2+10 \times 2^{2}+16 \times 2^{3}+\cdots+(6 \mathrm{n}-2) \times 2^{\mathrm{n}}$ ，
$2 \mathrm{~T}_{\mathrm{n}}=4 \times 2^{2}+10 \times 2^{3}+16 \times 2^{4}+\cdots+(6 \mathrm{n}-8) \times 2^{\mathrm{n}}+(6 \mathrm{n}-2) \times 2^{\mathrm{n}+1}$,
上述两式相减，得 $-\mathrm{T}_{\mathrm{n}}=4 \times 2+6 \times 2^{2}+6 \times 2^{3}+\cdots+6 \times 2^{\mathrm{n}}-(6 \mathrm{n}-2) \times 2^{\mathrm{n}+1}=$
$\frac{12 \times\left(1-2^{n}\right)}{1-2}-4-(6 n-2) \times 2^{n+1}=-(3 n-4) 2^{n+2}-16$ ．
得 $T_{n}=(3 n-4) 2^{n+2}+16$ ．
所以，数列 $\left\{a_{2 n} b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $(3 n-4) 2^{n+2}+16$ ．
【点评】本题考查等差数列以及等比数列通项公式的求法，数列求和，考查转化思想以及计算能力。