（10分）数列 a_ n 满足 a_ 1 =1, a_ 2…——2014 高考数学第 17 题答案解析

【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式； 8 H ：数列递推式．
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】（I）将 $a_{n+2}=2 a_{n+1}-a_{n}+2$ 变形为：$a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_{n}+2$ ，再由条件得 $b_{n+} { }_{1}=b_{n}+2$ ，根据条件求出 $b_{1}$ ，由等差数列的定义证明 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列；
（II）由（I）和等差数列的通项公式求出 $b_{n}$ ，代入 $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ 并令 $n$ 从1开始取值，依次得 $(n-1)$ 个式子，然后相加，利用等差数列的前 $n$ 项和公式求出 \｛ $\left.a_{n}\right\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ．

【解答】解：（I ）由 $a_{n+2}=2 a_{n+1}-a_{n}+2$ 得，
$a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_{n}+2$,
由 $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ 得，$b_{n+1}=b_{n}+2$ ，
即 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}+1}-\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=2$ ，
又 $b_{1}=a_{2}-a_{1}=1$ ，
所以 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 1 ，公差为 2 的等差数列。
（ II ）由（I）得，$b_{n}=1+2(n-1)=2 n-1$ ，

由 $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ 得，$a_{n+1}-a_{n}=2 n-1$ ，
则 $a_{2}-a_{1}=1, a_{3}-a_{2}=3, a_{4}-a_{3}=5, \ldots, a_{n}-a_{n-1}=2(n-1)-1$ ，
所以，$a_{n}-a_{1}=1+3+5+\ldots+2(n-1)-1$
$=\frac{(\mathrm{n}-1)(1+2 \mathrm{n}-3)}{2}=(\mathrm{n}-1)^{2}$ ，
又 $a_{1}=1$ ，
所以 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=(\mathrm{n}-1)^{2}+1=\mathrm{n}^{2}-2 \mathrm{n}+2$ ．
【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前 n 项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．