（本小题满分 12 分） 设点 P (x_ 0 , y_…——2008 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
证明：（1）设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，由已知得到 $y_{1} y_{2} \neq 0$ ，且 $x_{1}^{2}-y_{1}^{2}=1, x_{2}^{2}-y_{2}^{2}=1$ ，

设切线 $P A$ 的方程为：$y-y_{1}=k\left(x-x_{1}\right)$ 由 $\left\{\begin{array}{c}y-y_{1}=k\left(x-x_{1}\right) \\ x^{2}-y^{2}=1\end{array}\right.$ 得
$\left(1-k^{2}\right) x^{2}-2 k\left(y_{1}-k x_{1}\right) x-\left(y_{1}-k x_{1}\right)^{2}-1=0$
从而 $\Delta=4 k^{2}\left(y_{1}-k x_{1}\right)^{2}+4\left(1-k^{2}\right)\left(y_{1}-k x_{1}\right)^{2}+4\left(1-k^{2}\right)=0$ ，

解得 $k=\frac{x_{1}}{y_{1}}$

因此 $P A$ 的方程为：$y_{1} y=x_{1} x-1$

同理 $P B$ 的方程为：$y_{2} y=x_{2} x-1$

又 $P\left(m, y_{0}\right)$ 在 $P A , P B$ 上，所以 $y_{1} y_{0}=m x_{1}-1$ ，

$y_{2} y_{0}=m x_{2}-1$

即点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 都在直线 $y_{0} y=m x-1$ 上
又 $M\left(\frac{1}{m}, 0\right)$ 也在直线 $y_{0} y=m x-1$ 上，所以三点 $A , M , B$ 共线
（2）垂线 $A N$ 的方程为：$y-y_{1}=-x+x_{1}$ ，
由 $\left\{\begin{array}{c}y-y_{1}=-x+x_{1} \\ x-y=0\end{array}\right.$ 得垂足 $N\left(\frac{x_{1}+y_{1}}{2}, \frac{x_{1}+y_{1}}{2}\right)$ ，
设重心 $G(x, y)$
所以 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\left(x_{1}+\frac{1}{m}+\frac{x_{1}+y_{1}}{2}\right) \\ y=\frac{1}{3}\left(y_{1}+0+\frac{x_{1}+y_{1}}{2}\right)\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}=\frac{9 x-3 y-\frac{3}{m}}{4} \\ y_{1}=\frac{9 y-3 x+\frac{1}{m}}{4}\end{array}\right.$
由 $x_{1}^{2}-y_{1}^{2}=1$
可得 $\left(3 x-3 y-\frac{1}{m}\right)\left(3 x+3 y-\frac{1}{m}\right)=2$ 即 $\left(x-\frac{1}{3 m}\right)^{2}-y^{2}=\frac{2}{9}$ 为重心 $G$ 所在曲线方程