21．（本小题满分 12 分）设 $f_{n}(x)$ 是等比数列 $1, x, x^{2}, \cdots, x^{n}$ 的各项和，其中 $x>0, n \in \mathrm{~N}$， $n \geq 2$.
（I）证明：函数 $\mathrm{F}_{n}(x)=f_{n}(x)-2$ 在 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内有且仅有一个零点（记为 $x_{n}$ ），且 $x_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} x_{n}^{n+1}$；
（II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 $g_{n}(x)$，比较 $f_{n}(x)$
与 $g_{n}(x)$ 的大小，并加以证明．
参考答案（I）证明见解析；（II）当 $x=1$ 时，$f_{n}(x)=g_{n}(x)$，当 $x \neq 1$ 时，$f_{n}(x)<g_{n}(x)$，证明见解析．