（本小题满分 12 分）设 f_ n (x) 是等比数列…——2015 高考数学第 21 题答案解析

【答案】（I）证明见解析；（II）当 $x=1$ 时，$f_{n}(x)=g_{n}(x)$，当 $x \neq 1$ 时，$f_{n}(x)

## 【解析】

试题分析：（ I ）先利用零点定理可证 $\mathrm{F}_{n}(x)$ 在 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证 $\mathrm{F}_{n}(x)$在 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内有且仅有一个零点，进而利用 $x_{n}$ 是 $\mathrm{F}_{n}(x)$ 的零点可证 $x_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} x_{n}^{n+1}$；（II）先设 $h(x)=f_{n}(x)-g_{n}(x)$，再对 $x$ 的取值范围进行讨论来判断 $h(x)$ 与 0 的大小，进而可得 $f_{n}(x)$ 和 $g_{n}(x)$ 的大小。

试题解析：（I）$F_{n}(x)=f_{n}(x)-2=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}-2$，则 $F_{n}(1)=n-1>0$，

$F_{n}\left(\frac{1}{2}\right)=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\cdots+\left(\frac{1}{2}\right)^{n}-2=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}-2=-\frac{1}{2^{n}}<0$
所以 $F_{n}(x)$ 在 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内至少存在一个零点 $x_{n}$．
又 $F_{n}^{\prime}(x)=1+2 x+\cdots+n x^{n-1}>0$，故在 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内单调递增，
所以 $F_{n}(x)$ 在 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内有且仅有一个零点 $x_{n}$．
因为 $x_{n}$ 是 $F_{n}(x)$ 的零点，所以 $F_{n}\left(x_{n}\right)=0$，即 $\frac{1-x_{n}^{n+1}}{1-x_{n}}-2=0$，故 $x_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} x_{n}^{n+1}$．
（II）解法一：由题设，$g_{n}(x)=\frac{(n+1)\left(1+x^{n}\right)}{2}$．
设 $h(x)=f_{n}(x)-g_{n}(x)=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}-\frac{(n+1)\left(1+x^{n}\right)}{2}, x>0$．
当 $x=1$ 时，$f_{n}(x)=g_{n}(x)$
当 $x \neq 1$ 时,$h^{\prime}(x)=1+2 x+\cdots+n x^{n-1}-\frac{n(n+1) x^{n-1}}{2}$．
若 $0x^{n-1}+2 x^{n-1}+\cdots+n x^{n-1}-\frac{n(n+1)}{2} x^{n-1}=\frac{n(n+1)}{2} x^{n-1}-\frac{n(n+1)}{2} x^{n-1}=0$．
若 $x>1, h^{\prime}(x)

所以 $h(x)$ 在 $(0,1)$ 上递增，在 $(1,+\infty)$ 上递减，

所以 $h(x)综上所述，当 $x=1$ 时，$f_{n}(x)=g_{n}(x)$；当 $x \neq 1$ 时 $f_{n}(x)解法二 由题设，$f_{n}(x)=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}, g_{n}(x)=\frac{(n+1)\left(1+x^{n}\right)}{2}, x>0$．
当 $x=1$ 时，$f_{n}(x)=g_{n}(x)$
当 $x \neq 1$ 时，用数学归纳法可以证明 $f_{n}(x)当 $n=2$ 时，$f_{2}(x)-g_{2}(x)=-\frac{1}{2}(1-x)^{2}<0$，所以 $f_{2}(x)假设 $n=k(k \geq 2)$ 时，不等式成立，即 $f_{k}(x)那么，当 $n=k+1$ 时，
$f_{k+1}(x)=f_{k}(x)+x^{k+1}又 $g_{k+1}(x)-\frac{2 x^{k+1}+(k+1) x^{k}+k+1}{2}=\frac{k x^{k+1}-(k+1) x^{k}+1}{2}$
今 $h_{k}(x)=k x^{k+1}-(k+1) x^{k}+1(x>0)$，则 $h_{k}^{\prime}(x)=k(k+1) x^{k}-k(k+1) x^{k-1}=k(k+1) x^{k-1}(x-1)$
所以当 $0当 $x>1, h_{k}^{\prime}(x)>0, h_{k}(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上递增．
所以 $h_{k}(x)>h_{k}(1)=0$，从而 $g_{k+1}(x)>\frac{2 x^{k+1}+(k+1) x^{k}+k+1}{2}$

故 $f_{k+1}(x)所以，对于一切 $n \geq 2$ 的整数，都有 $f_{n}(x)解法三：由已知，记等差数列为 $\left\{a_{k}\right\}$，等比数列为 $\left\{b_{k}\right\}, k=1,2, \cdots, n+1$。则 $a_{1}=b_{1}=1, a_{n+1}=b_{n+1}=x^{n}$，
所以 $a_{k}=1+(k-1) \cdot \frac{x^{n}-1}{n}(2 \leq k \leq \mathrm{n}), b_{k}=x^{k-1}(2 \leq k \leq n)$，
今 $m_{k}(\mathrm{x})=a_{k}-b_{k}=1+\frac{(k-1)\left(x^{n}-1\right)}{n}-x^{k-1}, x>0(2 \leq k \leq n)$．

当 $x=1$ 时，$a_{k}=b_{k}$，所以 $f_{n}(x)=g_{n}(x)$．
当 $x \neq 1$ 时，$m_{k}^{\prime}(x)=\frac{k-1}{n} n x^{n-1}-(\mathrm{k}-1) x^{k-2}=(k-1) x^{k-2}\left(x^{n-k+1}-1\right)$
而 $2 \leq k \leq n$，所以 $k-1>0, n-k+1 \geq 1$．
若 $0当 $x>1, x^{n-k+1}>1, m_{k}^{\prime}(x)>0$，
从而 $m_{k}(x)$ 在 $(0,1)$ 上递减，$m_{k}(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上递增．所以 $m_{k}(x)>m_{k}(1)=0$，
所以当 $x>0$ 且 $x \neq 1$ 时，$a_{k}>b_{k}(2 \leq k \leq n)$，又 $a_{1}=b_{1}, a_{n+1}=b_{n+1}$，故 $f_{n}(x)综上所述，当 $x=1$ 时，$f_{n}(x)=g_{n}(x)$；当 $x \neq 1$ 时 $f_{n}(x)考点：1、等比数列的前 $n$ 项和公式；2、零点定理；3、等差数列的前 $n$ 项和公式；4、利用导数研究函数的单调性．

【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的前 $n$ 项和公式、零点定理、等差数列的前 $n$ 项和公式和利用导数研究函数的单调性，属于难题。解题时一定要抓住重要字眼＂有且仅有一个＂，否则很容易出现错误。证明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性．有关函数的不等式，一般是先构造新函数，再求出新函数在定义域范围内的值域即可．

## 请在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑。