（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)= (4 x^…——2014 高考数学第 18 题答案解析

【答案】①$\left(0, \frac{2}{5}\right)$ 和 $(2,+\infty)$ ，（2）-10 ．

## 【解析】

试题分析：（1）利用导数求函数单调区间，首先确定定义域：$[0,+\infty)$ ，然后对函数求导，在定义域内求导函数的零点：$f^{\prime}(x)=(8 x+4 a) \sqrt{x}+\frac{4 x^{2}+4 a x-a^{2}}{2 \sqrt{x}}=\frac{20 x+12 a x-a^{2}}{2 \sqrt{x}}=\frac{(10 x+a)(2 x+a)}{2 \sqrt{x}}$ ，当 $a=-4$ 时， $f^{\prime}(x)=\frac{2(5 x-2)(x-2)}{\sqrt{x}}$ ，由 $f^{\prime}(x)=0$ 得 $x=\frac{2}{5}$ 或 $x=2$ ，对表分析得单调增区间：$\left(0, \frac{2}{5}\right)$ 和 $(2,+\infty)$ ，（2）已知函数最值，求参数，解题思路还是从求最值志文．由①知， $f^{\prime}(x)=(8 x+4 a) \sqrt{x}+\frac{4 x^{2}+4 a x+a^{2}}{2 \sqrt{x}}=\frac{20 x^{2}+12 a x+a^{2}}{2 \sqrt{x}}=\frac{(10 x+a)(2 x+a)}{2 \sqrt{x}}$ ，所以导函数的零点为 $x=-\frac{a}{10}$ 或 $x=-\frac{a}{2}$ ，列表分析可得：函数增区间为 $\left(0,-\frac{a}{10}\right)$ 私 $\left(-\frac{a}{2},+\infty\right)$ ，减区间为 $\left(-\frac{a}{10},-\frac{a}{2}\right)$ 。由于 $f\left(-\frac{a}{2}\right)=0$ ，所以

$-\frac{a}{2} \notin[1,4]$ ，当 $0<-\frac{a}{2}<1$ 时，$f(x)_{\text {min }}=f(1)=4+4 a+a^{2}=8, a=-2 \pm 2 \sqrt{2}$ ，（舍），当 $-\frac{a}{2}>4$ 时， $f(x)_{\min }=\min \{f(1), f(4)\}$ ，由于 $f(1) \neq 8$ ，所以 $f(4)=2\left(64+16 a+a^{2}\right)=8$ ，且 $f(4)试题解析：（1）定义域：$[0,+\infty)$ ，而 $f^{\prime}(x)=(8 x+4 a) \sqrt{x}+\frac{4 x^{2}+4 a x+a^{2}}{2 \sqrt{x}}=\frac{20 x^{2}+12 a x+a^{2}}{2 \sqrt{x}}=\frac{(10 x+a)(2 x+a)}{2 \sqrt{x}}$ ，当 $a=-4$ 时，$f^{\prime}(x)=\frac{2(5 x-2)(x-2)}{\sqrt{x}}$ ，由 $f^{\prime}(x)=0$ 得 $x=\frac{2}{5}$ 或 $x=2$ ，列表：

所以单调增区间为：$\left(0, \frac{2}{5}\right)$ 和 $(2,+\infty),②$ 由①知，
$f^{\prime}(x)=(8 x+4 a) \sqrt{x}+\frac{4 x^{2}+4 a x+a^{2}}{2 \sqrt{x}}=\frac{20 x+12 a x+a^{2}}{2 \sqrt{x}}=\frac{(0 x+a)(2 x+a)}{2 \sqrt{x}}$ ，所以导函数的零点为 $x=-\frac{a}{10}$ 或 $x=-\frac{a}{2}$ ，列表分析可得：函数增区间为 $\left(0,-\frac{a}{10}\right)$ 和 $\left(-\frac{a}{2},+\infty\right)$ ，减区间为 $\left(-\frac{a}{10},-\frac{a}{2}\right)$ 。由于 $f\left(-\frac{a}{2}\right)=0$ ，所以 $-\frac{a}{2} \notin[1,4]$ ，当 $0<-\frac{a}{2}<1$ 时，$f(x)_{\text {min }}=f(1)=4+4 a+c^{2}=8, a=-2 \pm 2 \sqrt{2}$ ，（舍），当 $-\frac{a}{2}>4$ 时， $f(x)_{\min }=\min \{f(1), f(4)\}$ ，由于 $f(1) \neq 8$ ，所以 $f(4)=2\left(64+16 a+a^{2}\right)=8$ ，且 $f(4)

考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求函数最值