（5分）已知函数 f(x)=x^ 2 -2 x+a (e^…——2017 高考数学第 11 题答案解析

【考点】52：函数零点的判定定理．
【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】通过转化可知问题等价于函数 $y=1-(x-1) 2$ 的图象与 $y=a\left(e^{x-1}+\frac{1}{e^{x-1}}\right.$ ）的图象只有一个交点求 $a$ 的值．分 $a=0 , a<0 , a>0$ 三种情况，结合函数的单调性分析可得结论。
【解答】解：因为 $f(x)=x^{2}-2 x+a\left(e^{x-1}+e^{-x+1}\right)=-1+(x-1)^{2}+a\left(e^{x-1}+\frac{1}{e^{x-1}}\right.$ ）$=0$ ，
所以函数 $f(x)$ 有唯一零点等价于方程 $1-(x-1)^{2}=a\left(e^{x-1}+\frac{1}{e^{x-1}}\right)$ 有唯一解等价于函数 $y=1-(x-1)^{2}$ 的图象与 $y=a\left(e^{x-1}+\frac{1}{e^{x-1}}\right)$ 的图象只有一个交点。
①当 $a=0$ 时，$f(x)=x^{2}-2 x \geq-1$ ，此时有两个零点，矛盾；
②当 $a<0$ 时，由于 $y=1-(x-1) 2$ 在 $(-\infty, 1)$ 上递增、在 $(1,+\infty)$ 上递减

且 $y=a\left(e^{x-1}+\frac{1}{e^{x-1}}\right)$ 在 $(-\infty, 1)$ 上递增、在 $(1,+\infty)$ 上递减，
所以函数 $y=1-(x-1)^{2}$ 的图象的最高点为 $A(1,1), y=a\left(e^{x-1}+\frac{1}{e^{x-1}}\right)$ 的图象的最高点为 $\mathrm{B} ~(1,2 \mathrm{a}) ~$ ，
由于 $2 a<0<1$ ，此时函数 $y=1-(x-1)^{2}$ 的图象与 $y=a\left(e^{x-1}+\frac{1}{e^{x-1}}\right)$ 的图象有两个交点，矛盾；
（3）当 $a>0$ 时，由于 $y=1-(x-1)^{2}$ 在 $(-\infty, 1)$ 上递增、在 $(1,+\infty)$ 上递减

且 $y=a\left(e^{x-1}+\frac{1}{e^{x-1}}\right)$ 在 $(-\infty, 1)$ 上递减、在 $(1,+\infty)$ 上递增，
所以函数 $y=1-(x-1)^{2}$ 的图象的最高点为 $A(1,1), y=a\left(e^{x-1}+\frac{1}{e^{x-1}}\right)$ 的图象的最低点为 $B(1,2 a)$ ，

由题可知点 A 与点 B 重合时满足条件，即 $2 \mathrm{a}=1$ ，即 $\mathrm{a}=\frac{1}{2}$ ，符合条件；
综上所述， $\mathrm{a}=\frac{1}{2}$ ，
故选：C．
【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题。