若定义在 R 的奇函数 f(x) 在 (-∞, 0) 单调…——2020 高考数学第 8 题答案解析

【解答】
若定义在 $R$ 的奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 单调递减，且 $f(2)=0$ ，则满足 $x f(x-1) \geq 0$ 的 $x$ 的取值范围是（ ）
A．$[-1,1] \cup[3,+\infty)$
B．$[-3,-1] \cup[0,1]$
C．$[-1,0] \cup[1,+\infty)$
D．$[-1,0] \cup[1,3]$

【答案】D

【解析】

【分析】
首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 $f(x)$ 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果。

【详解】因为定义在 $R$ 上的奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递减，且 $f(2)=0$ ，

所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上也是单调递减，且 $f(-2)=0, f(0)=0$ ，

所以当 $x \in(-\infty,-2) \cup(0,2)$ 时，$f(x)>0$ ，当 $x \in(-2,0) \cup(2,+\infty)$ 时，$f(x)<0$ ，

所以由 $x f(x-1) \geq 0$ 可得：
$\left\{\begin{array}{l}x<0 \\ -2 \leq x-1 \leq 0 \text { 或 } x-1 \geq 2\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x>0 \\ 0 \leq x-1 \leq 2 \text { 或 } x-1 \leq-2\end{array}\right.$ 或 $x=0$
解得 $-1 \leqslant x \leqslant 0$ 或 $1 \leqslant x \leq 3$ ，
所以满足 $x f(x-1) \geq 0$ 的 $x$ 的取值范围是 $[-1,0] \cup[1,3]$ ，
故选：D．
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题．